1) Какую линейную комбинацию векторов можно получить из векторов ab, 3bc и 4cd, где a = (2,-5,1), b = (4,3,5

Облако

23

1) Чтобы найти линейную комбинацию векторов ab, 3bc и 4cd, мы должны умножить каждый вектор на соответствующий коэффициент и сложить результаты.

Для начала, давайте умножим каждый вектор на соответствующий коэффициент:

\(ab = a \cdot b = (2,-5,1) \cdot (4,3,5) = 2 \cdot 4 + (-5) \cdot 3 + 1 \cdot 5 = 8 - 15 + 5 = -2\)

\(3bc = 3 \cdot b \cdot c = 3 \cdot (4,3,5) \cdot (-1,0,1) = 3 \cdot (4 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 + 5 \cdot 1) = 3 \cdot (-4 + 5) = 3\)

\(4cd = 4 \cdot c \cdot d = 4 \cdot (-1,0,1) \cdot (2,1,0) = 4 \cdot (-1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = 4 \cdot (-2) = -8\)

Теперь сложим результаты:

Линейная комбинация векторов ab, 3bc и 4cd будет равна \(-2 + 3 + (-8) = -7\).

2) Чтобы найти длину векторов ав, вс и сд, мы можем использовать формулу длины вектора: \(\|v\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\), где \(v_1, v_2, v_3\) - компоненты вектора v.

Длина вектора ав равна \(\|a\| = \sqrt{2^2 + (-5)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 25 + 1} = \sqrt{30}\).

Длина вектора вс равна \(\|c\| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}\).

Длина вектора сд равна \(\|d\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5}\).

3) Чтобы найти косинус угла между векторами ав, мы можем использовать формулу косинуса угла между векторами: \(\cos(\theta) = \frac{v_1 \cdot w_1 + v_2 \cdot w_2 + v_3 \cdot w_3}{\|v\| \cdot \|w\|}\), где \(v\) и \(w\) - векторы, а \(v_1, v_2, v_3\) и \(w_1, w_2, w_3\) - их компоненты.

Косинус угла между векторами ав будет равен \(\cos(\theta) = \frac{a \cdot b}{\|a\| \cdot \|b\|} = \frac{2 \cdot 4 + (-5) \cdot 3 + 1 \cdot 5}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2}} = \frac{8 - 15 + 5}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{16 + 9 + 25}} = \frac{-2}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{50}} = \frac{-2}{\sqrt{30} \cdot 5 \cdot \sqrt{2}} = \frac{-2}{5\sqrt{60}}\).