1. Какую окончательную скорость получит маленький каучуковый шарик, если движется между двумя массивными вертикальными

Таинственный_Маг

25

Задача 1. Для решения этой задачи мы можем использовать законы сохранения.

Пусть \(v_1\) - скорость шарика после удара с неподвижной стенкой и \(v_2\) - скорость шарика после удара со стенкой, движущейся со скоростью \(v_3 = -100\) см/c.

По закону сохранения импульса:

\[
m \cdot v_0 = m \cdot v_1 + m \cdot v_2
\]

где \(m\) - масса шарика, \(v_0 = 2017\) см/c - начальная скорость шарика.

Также по закону сохранения кинетической энергии:

\[
\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2
\]

Решим систему уравнений для \(v_1\) и \(v_2\). Сначала найдем \(v_1\):

\[
m \cdot v_0 = m \cdot v_1 + m \cdot v_2 \implies v_1 = v_0 - v_2
\]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[
\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (v_0 - v_2)^2 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2
\]

Раскроем скобки:

\[
\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot (v_0^2 - 2 \cdot v_0 \cdot v_2 + v_2^2) + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2
\]

Упростим выражение:

\[
\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 - m \cdot v_0 \cdot v_2 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2 + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2
\]

Сократим одинаковые слагаемые и перенесем оставшиеся на одну сторону:

\[
m \cdot v_0 \cdot v_2 - m \cdot v_2^2 = 0
\]

Вынесем \(m \cdot v_2\) за скобки:

\[
m \cdot v_2 \cdot (v_0 - v_2) = 0
\]

Так как \(v_2 = -100\) см/c, получим:

\[
m \cdot (-100) \cdot (2017 + 100) = 0
\]

Раскроем скобки и решим уравнение:

\[
-100 \cdot 2117 \cdot m = 0
\]

Так как \(m\) - масса шарика, она не равна нулю, поэтому имеем:

\[
-100 \cdot 2117 = 0
\]

Данное уравнение не имеет решений. Таким образом, мы получаем, что \(v_1\) и \(v_2\) не существуют, то есть шарик не сможет достичь одной из стенок.

Ответ: Шарик не достигнет ни одной стенки.

Задача 2. Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения энергии.

Пусть \(h\) - максимальное расстояние от поверхности Земли, на котором может находиться спутник.

Запишем закон сохранения энергии:

\[
E_{\text{пот}} + E_{\text{кин}} = E_{\text{пот}}^{\text{макс}}
\]

где \(E_{\text{пот}} = m \cdot g \cdot R_{\text{З}}\) - потенциальная энергия на поверхности Земли, \(E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2\) - кинетическая энергия спутника на расстоянии \(h\) от Земли, \(E_{\text{пот}}^{\text{макс}} = m \cdot g \cdot (R_{\text{З}} + h)\) - максимальная потенциальная энергия спутника на расстоянии \(h\) от Земли.

Здесь \(m\) - масса спутника, \(g = 10\) м/с\(^2\) - ускорение свободного падения на поверхности Земли, \(R_{\text{З}}\) - радиус Земли.

Запишем уравнение:

\[
m \cdot g \cdot R_{\text{З}} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 = m \cdot g \cdot (R_{\text{З}} + h)
\]

Упростим его:

\[
m \cdot g \cdot R_{\text{З}} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 = m \cdot g \cdot R_{\text{З}} + m \cdot g \cdot h
\]

Сократим общие множители и перенесем \(m \cdot g \cdot R_{\text{З}}\) на другую сторону:

\[
\frac{1}{2} \cdot v_1^2 = g \cdot h
\]

Выразим \(h\):

\[
h = \frac{v_1^2}{2 \cdot g}
\]

Так как спутник запущен вертикально с первой космической скоростью на полюсе Земли, то \(v_1 = v_{\text{к}} = \sqrt{2 \cdot g \cdot R_{\text{З}}}\).

Подставим значение \(v_1\) в формулу для \(h\):

\[
h = \frac{v_{\text{к}}^2}{2 \cdot g} = \frac{(2 \cdot g \cdot R_{\text{З}})}{2 \cdot g} = R_{\text{З}}
\]

Таким образом, максимальное расстояние, на которое может удалиться спутник от поверхности Земли, равно радиусу Земли \(R_{\text{З}}\).

Ответ: Максимальное расстояние от поверхности Земли, на которое может удалиться спутник, равно радиусу Земли \(R_{\text{З}}\).