1) На какой временной отрезок скорость первой точки оказывается меньше скорости второй, если функции задают движение

Морж

66

Хорошо, давайте разберемся с задачами по очереди.

1) Для нахождения временного отрезка, на котором скорость первой точки меньше скорости второй, нам понадобится сравнить производные функций \(x_1(t)\) и \(x_2(t)\) по времени.

Производная функции \(x_1(t)\) будет равна:

\[\frac{{dx_1(t)}}{{dt}} = \frac{{d(9t^2 + 1)}}{{dt}} = 18t\]

Производная функции \(x_2(t)\) будет равна:

\[\frac{{dx_2(t)}}{{dt}} = \frac{{d(t^3)}}{{dt}} = 3t^2\]

Чтобы найти временной отрезок, на котором скорость первой точки меньше скорости второй, нужно найти интервалы, где \(18t < 3t^2\).

Решим это неравенство:

\[18t < 3t^2\]

\[3t^2 - 18t > 0\]

\[3t(t - 6) > 0\]

\noindent Решим неравенство с помощью метода интервалов:

1-й интервал: \(t < 0\)

Подставляя значение \(t = -1\) влевую часть неравенства, получаем:

\[3(-1)((-1) - 6) = 3(-1)(-7) = 21 > 0\]

Значит, первая точка имеет большую скорость в этом интервале.

2-й интервал: \(0 < t < 6\)

Подставляя значение \(t = 1\) влевую часть неравенства, получаем:

\[3(1)((1) - 6) = 3(1)(-5) = -15 < 0\]

Значит, скорость первой точки меньше скорости второй в этом интервале.

3-й интервал: \(t > 6\)

Подставляя значение \(t = 7\) влевую часть неравенства, получаем:

\[3(7)((7) - 6) = 3(7)(1) = 21 > 0\]

Значит, первая точка снова имеет большую скорость в этом интервале.

Таким образом, мы можем сказать, что скорость первой точки оказывается меньше скорости второй на временном отрезке \(0 < t < 6\).

2) Чтобы найти общую формулу первообразной функции \(f(x) = 3\), мы должны найти функцию \(F(x)\), производная которой равна функции \(f(x)\).

В данном случае функция \(f(x)\) является константой, поэтому ее первообразной будет функция \(F(x) = 3x + C\), где \(C\) - произвольная постоянная.

Таким образом, общая формула первообразной функции \(f(x) = 3\) будет \(F(x) = 3x + C\).