1. На яку відстань перемістився рибалка відносно берега озера, коли рибалка масою 80 кг перейшов з корми на ніс човна

Печка

47

Задача 1:

Для решения задачи, нам пригодится закон сохранения импульса. Согласно этому закону, сумма импульсов перед и после перехода должна быть равной.

Перед переходом:
Импульс рыбака: \( m_1 \cdot v_1 \), где \( m_1 = 80 \, \text{кг} \) - масса рыбака, \( v_1 \) - его скорость.
Импульс челнока: \( m_2 \cdot v_2 \), где \( m_2 = 120 \, \text{кг} \) - масса челнока, \( v_2 = 0 \, \text{м/с} \) - скорость челнока.

После перехода:
Импульс рыбака: \( 0 \, \text{кг} \cdot v_3 \), где \( v_3 \) - скорость рыбака после перехода.
Импульс челнока: \( (m_1 + m_2) \cdot v_4 \), где \( v_4 \) - скорость челнока после перехода.

Из закона сохранения импульса получаем:
\( m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = 0 \cdot v_3 + (m_1 + m_2) \cdot v_4 \)
\( 80 \cdot v_1 + 120 \cdot 0 = 0 \cdot v_3 + 200 \cdot v_4 \)

Также, задано, что челнок сместился на 1,4 метра. Мы можем использовать формулу для определения работы, чтобы найти связь между силой \( F \), смещением \( s \) и изменением энергии кинетической \( \Delta K \).

\( \Delta K = F \cdot s \)
\( \Delta K = m \cdot a \cdot s \)
\( \Delta K = (m_2 - m_1) \cdot g \cdot s \), где \( g = 9,8 \, \text{м/с}^2 \) - ускорение свободного падения.

Получаем:
\( 200 \cdot g \cdot 1,4 = 200 \cdot (v_4 - v_3) \)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\( 80 \cdot v_1 = 200 \cdot v_4 \)
\( 200 \cdot g \cdot 1,4 = 200 \cdot (v_4 - v_3) \)

Решим эту систему уравнений:
\( v_1 = \frac{200}{80} \cdot v_4 = 2,5 \cdot v_4 \) (1)
\( 200 \cdot g \cdot 1,4 = 200 \cdot (v_4 - v_3) \)
\( 9,8 \cdot 1,4 = v_4 - v_3 \)
\( v_4 - v_3 = 9,8 \cdot 1,4 \)
\( v_4 = v_3 + 13,72 \) (2)

Подставим (2) в (1):
\( v_1 = 2,5 \cdot (v_3 + 13,72) \)
\( v_1 = 2,5 \cdot v_3 + 2,5 \cdot 13,72 \)
\( v_1 = 2,5 \cdot v_3 + 34,3 \)

Таким образом, рыбак переместился на расстояние \( 2,5 \cdot v_3 + 34,3 \) относительно берега озера.

Задача 2:

Для решения задачи, мы можем использовать закон сохранения импульса. Согласно этому закону, сумма импульсов до и после наложения силы должна быть равной.

До наложения силы:
Импульс вагонетки: \( m_1 \cdot v_1 \), где \( m_1 = 800 \, \text{кг} \) - масса вагонетки, \( v_1 \) - её начальная скорость.
Импульс щебня: \( m_2 \cdot v_2 \), где \( m_2 = 200 \, \text{кг} \) - масса щебня, \( v_2 = 0 \, \text{м/с} \) - его начальная скорость.

После наложения силы:
Импульс вагонетки: \( (m_1 + m_2) \cdot v_3 \), где \( v_3 \) - скорость вагонетки после наложения силы.
Импульс щебня: \( m_2 \cdot v_4 \), где \( v_4 \) - скорость щебня после наложения силы.

Из закона сохранения импульса получаем:
\( m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v_3 + m_2 \cdot v_4 \)
\( 800 \cdot v_1 + 200 \cdot 0 = (800 + 200) \cdot v_3 + 200 \cdot v_4 \)
\( 800 \cdot v_1 = 1000 \cdot v_3 + 200 \cdot v_4 \)

Также, задано, что скорость вагонетки уменьшилась на 0,04 м/с. Мы можем использовать формулу для определения работы, чтобы найти связь между силой \( F \), смещением \( s \) и изменением энергии кинетической \( \Delta K \).

\( \Delta K = F \cdot s \)
\( \Delta K = m \cdot a \cdot s \)
\( \Delta K = (m_1 + m_2) \cdot a \cdot s \)

Получаем:
\( (m_1 + m_2) \cdot g \cdot 0,04 = (m_1 + m_2) \cdot (v_1 - v_3) \)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\( 800 \cdot v_1 = 1000 \cdot v_3 + 200 \cdot v_4 \)
\( (m_1 + m_2) \cdot g \cdot 0,04 = (m_1 + m_2) \cdot (v_1 - v_3) \)

Решим эту систему уравнений:
\( v_1 = \frac{1000}{800} \cdot v_3 + \frac{200}{800} \cdot v_4 = 1,25 \cdot v_3 + 0,25 \cdot v_4 \) (1)
\( (m_1 + m_2) \cdot g \cdot 0,04 = (m_1 + m_2) \cdot (v_1 - v_3) \)
\( 9,8 \cdot 0,04 = v_1 - v_3 \)
\( 0,392 = v_1 - v_3 \)
\( v_1 = v_3 + 0,392 \) (2)

Подставим (2) в (1):
\( v_1 = 1,25 \cdot (v_3 + 0,392) + 0,25 \cdot v_4 \)
\( v_1 = 1,25 \cdot v_3 + 1,25 \cdot 0,392 + 0,25 \cdot v_4 \)
\( v_1 = 1,25 \cdot v_3 + 0,49 + 0,25 \cdot v_4 \)

Таким образом, начальная скорость вагонетки составляет \( 1,25 \cdot v_3 + 0,49 + 0,25 \cdot v_4 \).

Задача 3:

При попадании снаряда массой 50 кг в неподвижную платформу с песком, происходит упругий удар. В результате, снаряд взаимодействует с платформой, а песок оказывает силу реакции. Используя закон сохранения импульса можно решить эту задачу. Согласно этому закону, сумма импульсов до и после столкновения должна быть равной.

Импульс снаряда до столкновения: \( m_1 \cdot v_1 \), где \( m_1 = 50 \, \text{кг} \) - масса снаряда, \( v_1 = 800 \, \text{м/с} \) - начальная скорость снаряда.
Импульс платформы до столкновения: \( m_2 \cdot v_2 \), где \( m_2 = M \) - масса платформы (неизвестная), \( v_2 = 0 \, \text{м/с} \) - начальная скорость платформы.

Импульс снаряда после столкновения: \( m_1 \cdot v_3 \), где \( v_3 \) - скорость снаряда после удара.
Импульс платформы после столкновения: \( m_2 \cdot v_4 \), где \( v_4 \) - скорость платформы после удара.

Из закона сохранения импульса получаем:
\( m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v_3 + m_2 \cdot v_4 \)
\( 50 \cdot 800 + M \cdot 0 = 50 \cdot v_3 + M \cdot v_4 \)
\( 40000 = 50 \cdot v_3 + M \cdot v_4 \) (1)

Также, из закона сохранения энергии можно определить связь между скоростью снаряда до и после удара:

\( \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_1^2 = \frac{1}{2} \cdot m_1 \cdot v_3^2 + \frac{1}{2} \cdot M \cdot v_4^2 \)
\( 20000 = 25 \cdot v_3^2 + M \cdot v_4^2 \) (2)

Поскольку снаряд и платформа поменяли скорости после столкновения, мы можем записать:
\( v_3 = -v_2 = 0 \, \text{м/с} \) (снаряд остановился)
\( v_4 = -v_1 \)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
\( 40000 = 50 \cdot 0 + M \cdot (-v_1) \) (1)
\( 20000 = 25 \cdot 0^2 + M \cdot (-v_1)^2 \) (2)

Решим эту систему уравнений:
\( 40000 = -M \cdot v_1 \)
\( M = \frac{40000}{-v_1} \) (3)
\( 20000 = M \cdot v_1^2 \)
\( 20000 = \frac{40000 \cdot v_1^2}{-v_1} \)
\( \frac{20000}{v_1} = -v_1 \)
\( v_1^2 = -\frac{20000}{v_1} \)
\( v_1^3 = -20000 \)

Таким образом, скорость снаряда до удара равна около \( -26,91 \, \text{м/с} \), а масса платформы \( M = \frac{40000}{-v_1} \), где \( v_1 \) - скорость снаряда до удара.