1. Напишите соответствующий вывод для каждого из неравенств. Обоснуйте ваш ответ. а) x + 4x+10 2 0; б) x2 + 10x

Петя

49

а) Неравенство \(x + 4x + 10 < 2\) можно упростить и решить следующим образом:

Сначала объединим все слагаемые с \(x\): \(5x + 10 < 2\).
Затем избавимся от константы, вычитая 10 из обеих частей: \(5x < -8\).
Далее разделим обе части неравенства на 5: \(x < -\frac{8}{5}\).
Получаем, что \(x\) должен быть меньше, чем \(-\frac{8}{5}\).

Ответ: решением данного неравенства является множество чисел \(x\), которые меньше, чем \(-\frac{8}{5}\).

б) Неравенство \(x^2 + 10x - 25 > 0\) можно решить, используя метод анализа знаков:

1. Найдем корни уравнения \(x^2 + 10x - 25 = 0\).
Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 10\), \(c = -25\).
Вычисляем: \(D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 100 + 100 = 200\).
Так как дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных корня.
Найдем корни, используя формулу: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
Получаем: \(x_1 = \frac{-10 - \sqrt{200}}{2} \approx -2.16\) и \(x_2 = \frac{-10 + \sqrt{200}}{2} \approx 12.16\).

2. Теперь проанализируем знаки внутри и вне интервалов, определенных корнями уравнения \(x^2 + 10x - 25 = 0\).
Внутри интервала \((-2.16, 12.16)\) значение квадратного трехчлена больше нуля, так как значение между корнями.
Вне этого интервала значение меньше нуля, так как значение налево и направо от корней разных знаков.

3. Определяем ответ:
Из анализа знаков следует, что неравенство \(x^2 + 10x - 25 > 0\) истинно в двух интервалах:
1) \(-\infty < x < -2.16\)
2) \(12.16 < x < +\infty\)

Ответ: решением данного неравенства является объединение двух интервалов: \((- \infty, -2.16) \cup (12.16, + \infty)\).

в) Неравенство \(-x^2 + 3x + 2 \leq 0\) можно решить, используя метод анализа знаков:

1. Найдем корни уравнения \(-x^2 + 3x + 2 = 0\).
Для этого можно использовать формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = -1\), \(b = 3\), \(c = 2\).
Вычисляем: \(D = 3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 2 = 9 + 8 = 17\).
Так как дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных корня.
Найдем корни, используя формулу: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
Получаем: \(x_1 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{-2} \approx -2.31\) и \(x_2 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{-2} \approx 3.31\).

2. Теперь проанализируем знаки внутри и вне интервалов, определенных корнями уравнения \(-x^2 + 3x + 2 = 0\).
Внутри интервала \((-2.31, 3.31)\) значение квадратного трехчлена меньше или равно нулю, так как значение налево и направо от корней разных знаков.
Вне этого интервала значение больше нуля.

3. Определяем ответ:
Из анализа знаков следует, что неравенство \(-x^2 + 3x + 2 \leq 0\) истинно в интервале \([-2.31, 3.31]\).

Ответ: решением данного неравенства является закрытый интервал \([-2.31, 3.31]\).

г) Неравенство \(-x^2 - 4 > 0\) можно решить, используя метод анализа знаков:

1. Найдем корни уравнения \(-x^2 - 4 = 0\).
Для этого приравняем квадратный трехчлен к нулю: \(-x^2 - 4 = 0\).
Решая это уравнение, получаем: \(x^2 = -4\), что не имеет действительных корней.
Следовательно, уравнение \(-x^2 - 4 = 0\) не имеет решений.

2. Проанализируем знаки данного квадратного трехчлена в зависимости от значения \(x\).
Заметим, что коэффициент при \(x^2\) отрицательный, поэтому квадратный трехчлен будет всегда отрицательным.
Значит, неравенство \(-x^2 - 4 > 0\) невозможно.

Ответ: данное неравенство не имеет решений.