1. Напишите уравнения касательной и нормали к графику функции f(x)=x+3x² в точке с абсциссой x=-1. 2. Определите

Юпитер

16

1. Чтобы найти уравнения касательной и нормали к графику функции \(f(x) = x + 3x^2\) в точке с абсциссой \(x = -1\), мы сначала найдем значение производной функции в этой точке.

Мы можем найти производную функции \(f(x)\) по правилу дифференцирования суммы и правилу дифференцирования произведения:

\[
f"(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(3x^2) = 1 + 6x
\]

Теперь подставим \(x = -1\) в выражение для \(f"(x)\), чтобы получить значение производной в данной точке:

\[
f"(-1) = 1 + 6(-1) = -5
\]

Теперь мы знаем, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке \((-1, f(-1))\) равен \(-5\). Чтобы найти уравнение касательной и нормали, нам нужно знать координаты точки.

Подставим \(x = -1\) в выражение для \(f(x)\), чтобы найти \(y\)-координату:
\[
f(-1) = (-1) + 3(-1)^2 = -1 + 3 = 2
\]

Таким образом, точка на графике функции \(f(x)\), в которой мы ищем касательную и нормаль, равна \((-1, 2)\).

Уравнение касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \((-1,2)\) можно записать в виде:

\[
y - f(-1) = f"(-1)(x - (-1))
\]

Подставим значения в уравнение:

\[
y - 2 = -5(x + 1)
\]

Теперь у нас есть уравнение касательной. Чтобы найти уравнение нормали, мы можем использовать тот факт, что произведение коэффициентов наклона касательной и нормали равно -1. Таким образом, уравнение нормали будет иметь вид:

\[
y - 2 = \frac{1}{5}(x + 1)
\]

Задача 1 решена.

2.
а) Чтобы найти интервалы монотонности функции \(y = x^3 - 3x + 2\), нам нужно проанализировать знаки производной функции. Для этого найдем производную функции с помощью правила дифференцирования:

\[
\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3
\]

Чтобы найти значения \(x\), для которых производная равна нулю (критические точки), решим уравнение \(3x^2 - 3 = 0\):

\[
3(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x^2 - 1 = 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 1) = 0
\]

Отсюда получаем две критические точки: \(x = 1\) и \(x = -1\).

Теперь мы можем построить таблицу знаков производной, используя эти критические точки:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & -\infty & -1 & 1 & +\infty \\
\hline
\frac{dy}{dx} & - & 0 & + & + \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что производная положительна на интервалах \((-1, 1)\) и \((1, +\infty)\), а отрицательна на интервале \((-\infty, -1)\).

Таким образом, функция \(y = x^3 - 3x + 2\) возрастает на интервалах \((-1, 1)\) и \((1, +\infty)\), и убывает на интервале \((-\infty, -1)\).

б) Для функции \(y = 5x^2 - 15x - 1\) знак производной можно найти аналогично:

\[
\frac{dy}{dx} = 10x - 15
\]

Решим уравнение \(10x - 15 = 0\) для нахождения критической точки:

\[
10x = 15 \Rightarrow x = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}
\]

Построим таблицу знаков:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
x & -\infty & \frac{3}{2} & +\infty \\
\hline
\frac{dy}{dx} & - & 0 & + \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что производная положительна на интервале \((\frac{3}{2}, +\infty)\), и отрицательна на интервале \((-\infty, \frac{3}{2})\).

Таким образом, функция \(y = 5x^2 - 15x - 1\) возрастает на интервале \((\frac{3}{2}, +\infty)\), и убывает на интервале \((-\infty, \frac{3}{2})\).

в) Для функции \(y = x^3 + 2x\) знак производной можно найти снова:

\[
\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2
\]

Производная не равна нулю для любых значений \(x\). В этом случае, чтобы узнать знак производной, можно проанализировать знак выражения \(3x^2 + 2\). Так как \(3x^2\) всегда неотрицательно, то знак производной определяется знаком выражения \(3x^2 + 2\).

Выражение \(3x^2 + 2\) является положительным для любых значений \(x\), поэтому производная положительна на всей числовой прямой.

Таким образом, функция \(y = x^3 + 2x\) возрастает на всей числовой прямой.

г) Для функции \(y = 60 + 45x - 3x^2 - x^3\) найдем производную:

\[
\frac{dy}{dx} = 45 - 6x - 3x^2
\]

Решим уравнение \(\frac{dy}{dx} = 0\) для нахождения критических точек:

\[
45 - 6x - 3x^2 = 0
\]

Мы можем решить это уравнение аналитически, используя методы факторизации или формулу дискриминанта. Однако, для этой задачи мы ограничимся графическим методом приближенного нахождения корней:

\[
\begin{align*}
x & = -3 \quad \text{(приближенное значение)} \\
x & = 5 \quad \text{(приближенное значение)}
\end{align*}
\]

Построим таблицу знаков производной:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & -\infty & -3 & 5 & +\infty \\
\hline
\frac{dy}{dx} & - & 0 & - & + \\
\hline
\end{array}
\]

Из таблицы видно, что производная положительна на интервале \((5, +\infty)\), и отрицательна на интервале \((-\infty, -3)\). Между критическими точками производная равна нулю и меняет знак.

Таким образом, функция \(y = 60 + 45x - 3x^2 - x^3\) возрастает на интервалах \((5, +\infty)\), и убывает на интервале \((-\infty, -3)\). Функция имеет локальный максимум в точке \((x, y) = (5, 40)\).

3. в) Чтобы найти экстремумы функции \(y = 7 + 12x - x^3\), мы должны найти точки, в которых производная равна нулю. Найдем производную этой функции:

\[
\frac{dy}{dx} = 12 - 3x^2
\]

Теперь решим уравнение \(\frac{dy}{dx} = 0\) для нахождения критических точек:

\[
12 - 3x^2 = 0 \Rightarrow 3x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2
\]

Мы получили две критические точки: \(x = -2\) и \(x = 2\). Чтобы найти соответствующие значения \(y\), подставим эти значения \(x\) в исходную функцию:

\[
y(-2) = 7 + 12(-2) - (-2)^3 = 7 - 24 + 8 = -9
\]

\[
y(2) = 7 + 12(2) - (2)^3 = 7 + 24 - 8 = 23
\]

Таким образом, функция \(y = 7 + 12x - x^3\) имеет локальный минимум в точке \((-2, -9)\) и локальный максимум в точке \((2, 23)\).

Задача 3 в) решена.