1. Найдите длину диагонали квадрата ABCD, если его периметр равен 32. 2. Определите радиус окружности, описанной вокруг
1. Найдите длину диагонали квадрата ABCD, если его периметр равен 32.
2. Определите радиус окружности, описанной вокруг квадрата ABCD.
3. Найдите радиус окружности, вписанной внутрь квадрата ABCD.
4. Каково расстояние от точки B до середины отрезка DC?
5. Определите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей квадрата ABCD.
6. Каков синус угла AOD?
7. Найдите тангенс угла OBC.
8. Определите косинус угла AOB.
9. В треугольнике ABC, где L принадлежит стороне BC, и отношение CL к LB равно 1:3, линия AL пересекает отрезок DC в точке N. Найдите CN, LN, косинус угла BLN и площадь треугольника LCN.
10. В треугольнике ADR, где Z принадлежит отрезку AD и R принадлежит отрезку AD, а отношение DZ к ZR к RA равно 1:2:1, линия CR пересекает отрезок AB в точке Q, а линия CZ пересекает отрезок AB в точке H. Найдите расстояние от точки Q до линии ZH и площадь четырехугольника GRZH.
11. На стороне BC построен равносторонний треугольник BKC (точка K не принадлежит стороне BC).
2. Определите радиус окружности, описанной вокруг квадрата ABCD.
3. Найдите радиус окружности, вписанной внутрь квадрата ABCD.
4. Каково расстояние от точки B до середины отрезка DC?
5. Определите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей квадрата ABCD.
6. Каков синус угла AOD?
7. Найдите тангенс угла OBC.
8. Определите косинус угла AOB.
9. В треугольнике ABC, где L принадлежит стороне BC, и отношение CL к LB равно 1:3, линия AL пересекает отрезок DC в точке N. Найдите CN, LN, косинус угла BLN и площадь треугольника LCN.
10. В треугольнике ADR, где Z принадлежит отрезку AD и R принадлежит отрезку AD, а отношение DZ к ZR к RA равно 1:2:1, линия CR пересекает отрезок AB в точке Q, а линия CZ пересекает отрезок AB в точке H. Найдите расстояние от точки Q до линии ZH и площадь четырехугольника GRZH.
11. На стороне BC построен равносторонний треугольник BKC (точка K не принадлежит стороне BC).
Sovenok 41
1. Давайте начнем с первой задачи.Периметр квадрата равен сумме длин всех его сторон. Пусть сторона квадрата равна \(a\). Тогда периметр квадрата \(ABCD\) равен \(4a\).
Так как периметр равен 32, мы можем записать уравнение \(4a = 32\), где \(a\) - сторона квадрата.
Чтобы найти длину диагонали, нам нужно знать длину стороны квадрата. Решим уравнение:
\[4a = 32\]
Разделим обе части уравнения на 4:
\[a = 8\]
Теперь, чтобы найти длину диагонали, мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю и двумя сторонами квадрата. Зная, что все стороны квадрата равны, мы можем найти длину диагонали.
Таким образом, длина диагонали равна:
\[\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = \sqrt{2 \cdot 8^2} = \sqrt{2 \cdot 64} = \sqrt{128} \approx 11.31\]
Так что ответ: длина диагонали квадрата ABCD при заданном периметре 32 равна примерно 11.31.
2. Перейдем ко второй задаче.
Окружность, описанная вокруг квадрата, будет проходить через вершины квадрата. Вокруг квадрата можно нарисовать такую окружность, что ее центр будет совпадать с центром квадрата, а радиус будет равен расстоянию от центра квадрата до одной из его вершин.
Так как сторона квадрата равна \(a\), радиус окружности, описанной вокруг квадрата ABCD, будет равен половине длины стороны квадрата.
Таким образом, радиус окружности равен \(r = \frac{a}{2}\).
Из предыдущего решения мы знаем, что \(a = 8\), поэтому
\[r = \frac{8}{2} = 4\]
Так что радиус окружности, описанной вокруг квадрата ABCD, равен 4.
3. Теперь решим третью задачу.
Окружность, вписанная внутрь квадрата, будет касаться всех его сторон. Внутри квадрата можно нарисовать такую окружность, что ее центр будет совпадать с центром квадрата, а радиус будет равен расстоянию от центра квадрата до одной из его сторон.
Так как сторона квадрата равна \(a\), радиус окружности, вписанной внутрь квадрата ABCD, будет равен половине длины стороны квадрата.
Таким образом, радиус окружности равен \(r = \frac{a}{2}\).
Из предыдущего решения мы знаем, что \(a = 8\), поэтому
\[r = \frac{8}{2} = 4\]
Так что радиус окружности, вписанной внутрь квадрата ABCD, также равен 4.