1. Найдите длину отрезка с конечными точками в m (−4; 3) и n (6; −5) и определите координаты его середины. 2. Составьте

Yuzhanin

40

= -2x + 5 и проходит через точку m (-3, 4).

1. Чтобы найти длину отрезка MN, используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[
d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}
\]

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты конечных точек отрезка.

Подставив значения координат точек M(-4, 3) и N(6, -5) в формулу, получим:

\[
d = \sqrt{{(6 - (-4))^2 + (-5 - 3)^2}} = \sqrt{{(10)^2 + (-8)^2}} = \sqrt{{100 + 64}} = \sqrt{{164}}
\]

Таким образом, длина отрезка MN равна \(\sqrt{{164}}\).

Чтобы найти координаты середины отрезка MN, используем формулу для нахождения среднего значения двух чисел:

\[
x_{\text{серед}} = \frac{x_1 + x_2}{2}
\]
\[
y_{\text{серед}} = \frac{y_1 + y_2}{2}
\]

Подставим значения координат точек M и N в эти формулы:

\[
x_{\text{серед}} = \frac{{-4 + 6}}{2} = 1
\]
\[
y_{\text{серед}} = \frac{{3 + (-5)}}{2} = -1
\]

Таким образом, координаты середины отрезка MN равны (1, -1).

2. Уравнение окружности с центром в точке F(3, -2) и проходящей через точку N(5, -9) имеет вид:

\[
(x - x_{\text{центра}})^2 + (y - y_{\text{центра}})^2 = r^2
\]

где (x, y) - произвольная точка окружности, \((x_{\text{центра}}, y_{\text{центра}})\) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Подставим значения координат центра F(3, -2) и точки N(5, -9) в это уравнение:

\[
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = r^2
\]

Таким образом, уравнение окружности имеет вид \((x - 3)^2 + (y + 2)^2 = r^2\).

3. Чтобы найти координаты вершины C параллелограмма ABCD, воспользуемся свойством параллелограмма, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.

Следовательно, сторона AB параллельна стороне CD и сторона BC параллельна стороне AD.

Таким образом, координаты вершины C равны координатам точки B, поскольку B и C являются вершинами двух параллельных сторон.

Из условия задачи известны координаты точек A(-3, 3), B(-1, 4) и D(8, 1). Следовательно, координаты вершины C равны координатам точки B, то есть C(-1, 4).

4. Чтобы составить уравнение прямой, проходящей через точки D(3, -4) и B(5, 8), воспользуемся формулой прямой в привычной нам форме \(y = mx + b\), где \(m\) - коэффициент наклона прямой, а \(b\) - точка пересечения прямой с осью \(y\).

Сначала найдем коэффициент наклона \(m\):

\[
m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}} = \frac{{8 - (-4)}}{{5 - 3}} = \frac{{12}}{{2}} = 6
\]

Теперь подставим одну из точек в формулу и найдем точку пересечения прямой с осью \(y\):

\[
y = mx + b \Rightarrow y = 6x + b
\]
\[
-4 = 3 \cdot 6 + b
\]
\[
-4 = 18 + b
\]
\[
b = -22
\]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки D(3, -4) и B(5, 8), имеет вид \(y = 6x - 22\).

5. Чтобы найти координаты точки, которая лежит на оси абсцисс и находится на равном расстоянии от точек D(1, 10) и K(7, 8), воспользуемся формулой для нахождения середины отрезка.

Следовательно, координата \(x\) этой точки будет равна среднему значению \(x\) координат точек D и K:

\[
x = \frac{{x_1 + x_2}}{2} = \frac{{1 + 7}}{2} = 4
\]

Поскольку данная точка лежит на оси абсцисс, то \(y = 0\). Таким образом, координаты искомой точки равны (4, 0).

6. Чтобы составить уравнение прямой, которая параллельна уравнению \(y = -2x + 5\) и проходит через точку M(-3, 4), воспользуемся свойством параллельных прямых, что их угловые коэффициенты \(m\) равны.

Исходное уравнение имеет вид \(y = -2x + 5\), что означает, что коэффициент наклона \(m = -2\).

Теперь подставим координаты точки M(-3, 4) и коэффициент наклона \(m = -2\) в формулу прямой и найдем точку пересечения прямой с осью \(y\):

\[
y = mx + b \Rightarrow 4 = -2 \cdot (-3) + b
\]
\[
4 = 6 + b
\]
\[
b = -2
\]

Таким образом, уравнение прямой, параллельной уравнению \(y = -2x + 5\) и проходящей через точку M(-3, 4), имеет вид \(y = -2x - 2\).