1) Найдите координаты середины отрезка СО в параллелограмме ABCD, где A (-2; 1), B (2; 5) и D (6; -1) и O является

Kuzya

56

Здравствуйте! Разберем по порядку каждую задачу.

1) Чтобы найти координаты середины отрезка СО, нам необходимо найти среднее арифметическое координат вершин C и O. Поскольку O является точкой пересечения диагоналей, координаты O будут средними значениями координат вершин A и C. Начнем с нахождения координат O:
\[O_x = \frac{A_x + C_x}{2} = \frac{(-2) + 6}{2} = 2\]

\[O_y = \frac{A_y + C_y}{2} = \frac{1 + (-1)}{2} = 0\]

Теперь у нас есть координаты O (2, 0). Для нахождения середины СО в параллелограмме ABCD, нам нужно найти среднее арифметическое координат вершин C и O:
\[СО_x = \frac{C_x + O_x}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4\]

\[СО_y = \frac{C_y + O_y}{2} = \frac{(-1) + 0}{2} = -\frac{1}{2}\]

Таким образом, координаты середины отрезка СО в параллелограмме ABCD равны (4, -1/2).

2) Чтобы найти углы треугольника ABC, заданного координатами вершин, мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами. Векторы AB и AC можно найти, вычтя из координат вершины A координаты вершин B и C соответственно.
\[AB = (B_x - A_x, B_y - A_y) = (0 - 2, 0 - 2\sqrt{3}) = (-2, -2\sqrt{3})\]

\[AC = (C_x - A_x, C_y - A_y) = (3 - 2, \sqrt{3} - 2\sqrt{3}) = (1, -\sqrt{3})\]

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между векторами:
\[\cos{\theta} = \frac{AB \cdot AC}{|AB| \cdot |AC|}\]

\[AB \cdot AC = (-2)(1) + (-2\sqrt{3})(-\sqrt{3}) = -2 + 6 = 4\]

\(|AB| = \sqrt{(-2)^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4\)

\(|AC| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\)

Подставляя в формулу, получим:
\[\cos{\theta} = \frac{4}{4 \cdot 2} = \frac{1}{2}\]

Теперь найдем значение угла \(\theta\) с использованием обратной функции косинуса:
\[\theta = \arccos{\frac{1}{2}}\]

Определим значение угла:
\[\theta = \frac{\pi}{3}\]

Таким образом, угол треугольника ABC, заданного координатами вершин A (2; 2√3), B (0; 0) и C (3; √3), равен \(\frac{\pi}{3}\).

3) Для нахождения медиан треугольника MNK, мы можем использовать свойство медиан - они делят стороны треугольника пополам и пересекаются в одной точке, называемой центроидом. Давайте начнем с нахождения координат центроида треугольника MNK. Центроид M", делящий медиану [MN] в отношении 1:2, можно найти следующим образом:
\[M"_x = \frac{1}{3}(M_x + N_x)\]
\[M"_y = \frac{1}{3}(M_y + N_y)\]
Подставим значения вершин M и N:
\[M"_x = \frac{1}{3} \cdot (0 + 4) = \frac{4}{3}\]
\[M"_y = \frac{1}{3} \cdot (0 + 0) = 0\]
Таким образом, координаты центроида M" равны \(\left(\frac{4}{3}, 0\right)\).

Аналогичным образом, найдем координаты центроида K":
\[K"_x = \frac{1}{3}(K_x + N_x)\]
\[K"_y = \frac{1}{3}(K_y + N_y)\]
Подставим значения вершин K и N:
\[K"_x = \frac{1}{3} \cdot (0 + 4) = \frac{4}{3}\]
\[K"_y = \frac{1}{3} \cdot (0 + 0) = 0\]
Таким образом, координаты центроида K" равны \(\left(\frac{4}{3}, 0\right)\).

Наконец, найдем координаты центроида N":
\[N"_x = \frac{1}{3}(M_x + K_x)\]
\[N"_y = \frac{1}{3}(M_y + K_y)\]
Подставим значения вершин M и K:
\[N"_x = \frac{1}{3} \cdot (0 + 0) = 0\]
\[N"_y = \frac{1}{3} \cdot (0 + 0) = 0\]
Таким образом, координаты центроида N" равны (0, 0).

Теперь, чтобы найти медианы треугольника MNK, мы можем использовать формулу, которая говорит, что медиана будет проводиться из вершины треугольника через центроид, и она будет делить соответствующую сторону пополам. Первая медиана \(m_1\), проведенная из вершины M через центроид N", будет делить сторону [NK] пополам. Таким образом, координаты середины отрезка [NK] будут средними значениями координат вершин N и N":
\[NK_x = \frac{N_x + N"_x}{2} = \frac{0 + 0}{2} = 0\]
\[NK_y = \frac{N_y + N"_y}{2} = \frac{0 + 0}{2} = 0\]
Таким образом, координаты середины отрезка [NK] равны (0, 0).

Аналогично, вторая медиана \(m_2\), проведенная из вершины N через центроид M", будет делить сторону [MK] пополам. Таким образом, координаты середины отрезка [MK] будут средними значениями координат вершин M и M":
\[MK_x = \frac{M_x + M"_x}{2} = \frac{0 + \frac{4}{3}}{2} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{2}{3}\]
\[MK_y = \frac{M_y + M"_y}{2} = \frac{0 + 0}{2} = 0\]
Таким образом, координаты середины отрезка [MK] равны \(\left(\frac{2}{3}, 0\right)\).

И наконец, третья медиана \(m_3\), проведенная из вершины K через центроид K", будет делить сторону [MN] пополам. Таким образом, координаты середины отрезка [MN] будут средними значениями координат вершин M и M":
\[MN_x = \frac{M_x + K_x}{2} = \frac{0 + 0}{2} = 0\]
\[MN_y = \frac{M_y + K_y}{2} = \frac{0 + 4}{2} = 2\]
Таким образом, координаты середины отрезка [MN] равны (0, 2).

Итак, медианы треугольника MNK имеют следующие координаты:
\(m_1\) - (0, 0)
\(m_2\) - \(\left(\frac{2}{3}, 0\right)\)
\(m_3\) - (0, 2)

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять каждую задачу.