1. Найдите корни уравнения x3+30x2+300x+1008=0. 2. Найдите сумму чисел x и y, при которых выполняется равенство
1. Найдите корни уравнения x3+30x2+300x+1008=0.
2. Найдите сумму чисел x и y, при которых выполняется равенство 4xy+5x2+4y2+4x+1=0.
3. Найдите наименьшее значение выражения a2+b2+c2−ab−bc−c.
2. Найдите сумму чисел x и y, при которых выполняется равенство 4xy+5x2+4y2+4x+1=0.
3. Найдите наименьшее значение выражения a2+b2+c2−ab−bc−c.
Дмитриевич 5
Решим поочередно каждую задачу.1. Для нахождения корней уравнения x^3 + 30x^2 + 300x + 1008 = 0 используем метод Рациональных корней. Сначала составим список всех возможных рациональных корней уравнения, применяя правило плюс-минус отношения делителей свободного члена. В данном случае список будет следующий: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±14, ±21, ±24, ±28, ±32, ±42, ±48, ±56, ±62, ±84, ±96, ±112, ±126, ±168, ±224, ±252, ±336, ±504, ±1008.
Подставим значения из списка в уравнение и проверим, какое из них является корнем. Для этого рассмотрим x = 1:
1^3 + 30(1)^2 + 300(1) + 1008 = 1 + 30 + 300 + 1008 ≠ 0,
x = -1:
(-1)^3 + 30(-1)^2 + 300(-1) + 1008 = -1 + 30 - 300 + 1008 ≠ 0,
x = 2:
2^3 + 30(2)^2 + 300(2) + 1008 = 8 + 120 + 600 + 1008 ≠ 0,
x = -2:
(-2)^3 + 30(-2)^2 + 300(-2) + 1008 = -8 + 120 - 600 + 1008 = 520 ≠ 0.
Продолжая таким образом, мы доходим до значения x = -8, при котором уравнение становится равным 0:
(-8)^3 + 30(-8)^2 + 300(-8) + 1008 = -512 + 1920 - 2400 + 1008 = 16.
Итак, корни уравнения x^3 + 30x^2 + 300x + 1008 = 0: x = -8.
2. Дано уравнение 4xy + 5x^2 + 4y^2 + 4x + 1 = 0. Чтобы найти сумму чисел x и y удовлетворяющих этому уравнению, воспользуемся методом Завершения квадрата.
Для начала, перепишем уравнение, группируя переменные по степеням:
(5x^2 + 4x) + (4y^2) + 1 = -4xy.
Заметим, что 5x^2 + 4x можно преобразовать к виду полного квадрата, добавив и вычтя одну четверть квадрата коэффициента при x, равную (4/2)^2 = 4:
(5x^2 + 4x + 4) - 4 = -4xy.
Теперь преобразуем левую часть уравнения:
[(√(5x^2 + 4x + 4))^2 - 4] = -4xy.
Раскроем квадрат и упростим:
5x^2 + 4x + 4 - 4 = -4xy,
5x^2 + 4x = -4xy.
Для каких значений x и y эта система равенств является верной? Очевидно, что эта система будет равна нулю, когда каждое слагаемое равно нулю:
5x^2 + 4x = 0,
-4xy = 0.
Первое уравнение приводит нас к двум возможным решениям:
x = 0,
5x + 4 = 0.
Решая второе уравнение получим:
-4xy = 0,
y = 0.
Сумма чисел x и y будет равна:
x + y = 0 + 0 = 0.
Таким образом, сумма чисел x и y равна 0.
3. Задача заключается в нахождении наименьшего значения выражения a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca. Для этого мы должны знать значения переменных a, b и c. Уточните, какие значения должны быть заданы для этих переменных, чтобы я могу решить задачу для вас.