Сколько есть натуральных чисел N, больших 900, для которых ровно два из чисел 3N, N−900, N+15 и 2N являются

Чудесная_Звезда

43

Чтобы решить эту задачу, нам нужно провести исследование для разных значений числа N и определить, при каких значениях выполняется условие задачи.

Первое, что нам нужно сделать, это определить диапазон значений для N. В условии сказано, что N должно быть больше 900. Давайте выберем произвольное значение, чтобы начать исследование. Попробуем N = 901 и проверим условие задачи.

По условию, четырехзначными числами являются числа от 1000 до 9999. Подставим N = 901:

3N = 3 * 901 = 2703,
N - 900 = 901 - 900 = 1,
N + 15 = 901 + 15 = 916,
2N = 2 * 901 = 1802.

Как видим, только числа 3N и 2N являются четырехзначными, так как они находятся в диапазоне от 1000 до 9999.

Теперь давайте проверим условие задачи для других значений N.

Пусть N = 902:

3N = 3 * 902 = 2706,
N - 900 = 902 - 900 = 2,
N + 15 = 902 + 15 = 917,
2N = 2 * 902 = 1804.

В этом случае только числа 3N и 2N являются четырехзначными.

Мы можем продолжать проверять для других значений N, но для наглядности и упрощения решения задачи, давайте выявим общий паттерн.

Обратим внимание на формулы:

- 3N
- N - 900
- N + 15
- 2N.

Заметим, что для того чтобы число было четырехзначным, оно должно быть больше или равно 1000. Выпишем это условие:

1000 ≤ 3N ≤ 9999,
1000 ≤ N - 900 ≤ 9999,
1000 ≤ N + 15 ≤ 9999,
1000 ≤ 2N ≤ 9999.

Чтобы решить такие неравенства, мы можем делить каждую часть неравенства на коэффициент. Например, мы можем разделить первое неравенство на 3:

\(\frac{1000}{3} ≤ N ≤ \frac{9999}{3}\).

Проделаем это со всеми неравенствами:

\(\frac{1000}{3} ≤ N ≤ \frac{9999}{3}\),
\(\frac{1000}{3}+900 ≤ N+900 ≤ \frac{9999}{3}+900\),
\(\frac{1000}{3}-15 ≤ N+15 ≤ \frac{9999}{3}-15\),
\(\frac{1000}{3} ≤ 2N ≤ \frac{9999}{3}\).

Теперь заметим, что эти неравенства представляют собой интервалы чисел, в которых N должно находиться, чтобы условие задачи выполнялось.

Сделаем вычисления:

\(\frac{1000}{3} ≈ 333.33\),
\(\frac{9999}{3} ≈ 3333.0\).

Таким образом, мы нашли интервал для N:

333.33 ≤ N ≤ 3333.0.

Осталось только посчитать количество натуральных чисел N в этом интервале.

Чтобы найти количество чисел в этом интервале, мы должны вычислить разницу между наибольшим и наименьшим числом в этом интервале и добавить 1 (так как и наибольшее, и наименьшее число также включаются в этот интервал).

Количество натуральных чисел N, больших 900, для которых ровно два из чисел 3N, N−900, N+15 и 2N являются четырехзначными, равно:

\(3333 - 333 + 1 = 3001\).

Таким образом, ответ на задачу составляет 3001.