1) Найдите новые координаты и абсолютное значение вектора СД, а также координаты точки К, если известно, что СК

Yan

31

Для решения всех задач, нам понадобятся навыки работы с векторами в трехмерном пространстве. Давайте решим каждую задачу по порядку.

1) Чтобы найти новые координаты вектора СД, мы можем воспользоваться свойствами векторов. Мы знаем, что СК = (-2; -3; 2). Также известно, что ВК = ВС + СК. Подставим значения:

ВК = (3; 1; 0) + (-2; -3; 2) = (3-2; 1-3; 0+2) = (1; -2; 2).

Теперь у нас есть вектор ВК. Чтобы найти СД, нужно учесть, что СД = СК + ВК. Подставим значения:

СД = (-2; -3; 2) + (1; -2; 2) = (-2+1; -3-2; 2+2) = (-1; -5; 4).

Таким образом, новые координаты вектора СД равны (-1; -5; 4).

Чтобы найти абсолютное значение вектора СД, мы можем воспользоваться формулой для нахождения длины вектора:

|СД| = √((-1)^2 + (-5)^2 + 4^2) = √(1 + 25 + 16) = √42.

Таким образом, абсолютное значение вектора СД равно √42.

Чтобы найти координаты точки К, мы можем воспользоваться формулой для нахождения точки на отрезке между двумя точками:

К = С + СК = (1; -1; 2) + (-2; -3; 2) = (1-2; -1-3; 2+2) = (-1; -4; 4).

Таким образом, координаты точки К равны (-1; -4; 4).

2) а) Чтобы найти новые координаты вектора АВ, мы можем воспользоваться свойствами векторов. У нас есть точки А(2; -3; 1) и В(3; 1; 0). Вектор АВ можно выразить как В - А:

АВ = (3-2; 1-(-3); 0-1) = (1; 4; -1).

Таким образом, новые координаты вектора АВ равны (1; 4; -1).

б) Чтобы найти координаты точки К, если ВС = АК, мы можем воспользоваться формулами для нахождения точки на отрезке между двумя точками и свойством векторов. У нас есть точки В(3; 1; 0) и С(1; -1; 2), и известно, что ВС = АК. Значит ВС можно представить как С - В:

ВС = (1-3; -1-1; 2-0) = (-2; -2; 2).

Теперь мы знаем, что ВС = АК. Подставим значения:

АК = (-2; -2; 2).

Таким образом, координаты точки К равны (-2; -2; 2).

3) Чтобы найти косинус угла между векторами ДС и ВА, мы можем воспользоваться формулой для расчета косинуса угла между векторами. Косинус угла между векторами можно выразить как скалярное произведение векторов, деленное на произведение их длин:

cos(θ) = (ДС · ВА) / (|ДС| * |ВА|),

где · обозначает скалярное произведение векторов.

Рассчитаем значения:

ДС · ВА = (0-1) + (-1-(-3)) + (2-1) = -1 + 2 + 1 = 2.

|ДС| = √(0^2 + (-1)^2 + 2^2) = √(0 + 1 + 4) = √5.

|ВА| = √(2^2 + (-3)^2 + 1^2) = √(4 + 9 + 1) = √14.

Теперь мы можем найти косинус угла θ:

cos(θ) = 2 / (√5 * √14) = 2 / (√70).

Таким образом, косинус угла между векторами ДС и ВА равен 2 / (√70).