1) Найдите объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если ∠BDA равен 30°, DD1 равно 5 см, а AB равно 12

Rak

55

Очень рад помочь вам с решением данных задач! Давайте пошагово решим каждую из них.

1) Для начала нарисуем прямоугольный параллелепипед с заданными размерами:

\[
\begin{array}{cccc}
& A & B & C & A_1 \\
B_1 & & & & \\
& D & D_1 & C_1 & \\
\end{array}
\]

В данной задаче нам известны следующие данные: \(\angle BDA = 30^\circ\), \(DD_1 = 5\) см и \(AB = 12\) см. Чтобы найти объем параллелепипеда, нам нужно умножить длину, ширину и высоту.

Вспомним, что диагональное пересечение сечения прямоугольника делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Таким образом, нам нужно найти высоту треугольника, чтобы найти высоту параллелепипеда.

Разделим треугольник на два правильных треугольника и получим следующую картину:

\[
\begin{array}{cccc}
& A & B & C & A_1 \\
B_1 & & & & \\
D & & X & & D_1 \\
\end{array}
\]

Треугольник DXB является равнобедренным, так как BD = XD. У нас уже есть один угол треугольника DXB, который равен 30°. Чтобы найти высоту треугольника DXB, нам нужно использовать тригонометрию.

Мы можем использовать тангенс угла BDC (30°), чтобы найти высоту треугольника DXB. Таким образом, \(\tan(30^\circ) = \frac{{BD}}{{DX}}\). Подставим известные значения: \(\tan(30^\circ) = \frac{{\frac{{AB}}{{2}}}}{{DX}}\). Так как \(AB = 12\) и точка О - середина стороны ВС, то \(\frac{{AB}}{{2}} = 6\).

\[6 \cdot \sqrt{3} = \frac{{6}}{{DX}}\]

Перекрестно умножаем и получаем:

\[\sqrt{3} \cdot DX = 6 \quad \Rightarrow \quad DX = \frac{{6}}{{\sqrt{3}}} = 2 \sqrt{3}\]

Таким образом, высота треугольника DXB равна \(2 \sqrt{3}\). Поскольку треугольник ADX является прямоугольным, он является подобным треугольнику DXB своими пропорциональными сторонами.

Теперь мы можем найти \(AD = AB - BD = 12 - 5 = 7\) см.

Ответ: Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда равны: \(AD = 7\) см, \(AB = 12\) см и \(DX = 2 \sqrt{3}\) см соответственно. Чтобы найти объем параллелепипеда, умножим эти значения: \(Объем = AD \times AB \times DX = 7 \times 12 \times 2 \sqrt{3}\). Раскроем скобки и преобразуем итоговое выражение:

\[Объем = 7 \times 12 \times 2 \sqrt{3} = 168 \sqrt{3} \quad \text{см}^3\]

2) Поступим аналогично предыдущей задаче и начнем с построения параллелепипеда с указанными размерами:

\[
\begin{array}{cccc}
& D & E & F & G & D_1 \\
E_1 & & & & & \\
& F_1 & G_1 & & & \\
\end{array}
\]

Здесь нам известны следующие данные: DE = 3 см, DG = 4 см и угол между диагональю параллелепипеда и основанием равен 45°. Чтобы найти объем параллелепипеда, нам снова нужно умножить его длину, ширину и высоту.

Для начала найдем высоту параллелепипеда. Обозначим эту высоту как \(h\).

Мы знаем, что треугольникы DBE и DFG подобны друг другу по AA-признаку, так как у них одинаковые углы DBE и DFG.

Таким образом, \(\frac{DE}{DG} = \frac{BE}{FG}\). Подставим значения: \(\frac{3}{4} = \frac{h}{FG}\).

Преобразуем это уравнение, чтобы найти высоту FG параллелепипеда: \(h = \frac{4}{3} \cdot FG\).

Мы также знаем, что угол между диагональю DG и основанием параллелепипеда равен 45°.

Из предыдущей задачи мы знаем, что угол BDA равен 30°. Таким образом, угол DAB равен 60°.

Теперь посмотрим на треугольник ADG. У нас есть угол DAB = 60°, угол ADG = 45° и сторона DG = 4 см.

Чтобы найти сторону AG параллелепипеда, мы можем использовать тригонометрию и синус угла DAB, так как у нас есть противолежащая сторона DG и гипотенуза ADG.

Таким образом, \(\sin(60^\circ) = \frac{DG}{AG}\). Подставим известные значения: \(\sin(60^\circ) = \frac{4}{AG}\).

Раскроем синус и получим: \(\frac{{\sqrt{3}}}{2} = \frac{4}{AG}\). Умножим обе стороны на AG и преобразуем:

\[AG = \frac{{4}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}} = \frac{{4 \cdot 2}}{{\sqrt{3}}} = \frac{8}{{\sqrt{3}}} = \frac{{8\sqrt{3}}}{{3}}\]

Таким образом, сторона AG параллелепипеда равна \(\frac{{8\sqrt{3}}}{{3}}\).

Теперь мы можем найти высоту FG параллелепипеда, используя уравнение \(h = \frac{4}{3} \cdot FG\):

\[\frac{4}{3} \cdot FG = \frac{8\sqrt{3}}{3} \quad \Rightarrow \quad FG = \frac{8\sqrt{3}}{4} = 2\sqrt{3}\]

Ответ: Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда равны: \(DE = 3\) см, \(DG = 4\) см и \(FG = 2\sqrt{3}\) см соответственно. Чтобы найти объем параллелепипеда, умножим эти значения: \(Объем = DE \times DG \times FG = 3 \times 4 \times 2\sqrt{3}\). Раскроем скобки и преобразуем итоговое выражение:

\[Объем = 3 \times 4 \times 2\sqrt{3} = 24 \sqrt{3} \quad \text{см}^3\]

3) Задача требует найти объем новой призмы, если известно, что объем прямой девятиугольной призмы равен 40 см\(^3\), площадь основания увеличена в 7 раз, а длина высоты призмы уменьшена в 10 раз.

Обозначим объем новой призмы как \(V\), площадь основания - \(A\), и длину высоты - \(H\).

По условию, \(V = 40\) см\(^3\).

Также задано, что \(A\) увеличена в 7 раз, то есть \(A_{новая} = 7A_{старая}\).

И длина высоты уменьшена в 10 раз, то есть \(H_{новая} = \frac{{H_{старая}}}{{10}}\).

Общая формула объема призмы: \(V = A \times H\).

Заменим значения \(A\) и \(H\) в формуле объема новой призмы и получим:

\[V_{новый} = A_{новая} \times H_{новая} = (7A_{старая}) \times \left(\frac{{H_{старая}}}{{10}}\right) = \frac{{7A_{старая}H_{старая}}}{{10}}\]

Теперь мы знаем, что \(V_{новый} = 40\) см\(^3\). Подставим это значение в уравнение:

\[\frac{{7A_{старая}H_{старая}}}{{10}} = 40\]

Умножим обе стороны уравнения на \(\frac{{10}}{{7}}\) и получим:

\[A_{старая}H_{старая} = \frac{{40 \cdot 10}}{{7}} = \frac{{400}}{{7}}\]

Таким образом, площадь основания умноженная на длину высоты в исходной призме равна \(\frac{{400}}{{7}}\).

Объем призмы выражается как произведение площади основания и длины высоты, поэтому объем новой призмы будет равен \(V_{новый} = \frac{{400}}{{7}}\) см\(^3\).

Ответ: Объем новой призмы равен \(\frac{{400}}{{7}}\) см\(^3\).

4) В данной задаче нужно найти объем правильной треугольной призмы, если известно, что сторона основания равна 2 см, и угол между боковой гранью и плоскостью основания составляет...