1 Найдите первую космическую скорость для Цереры при ее массе равной 9,4 * 10 в 20-й степени кг и радиусе

Загадочный_Замок

45

1. Для нахождения первой космической скорости для Цереры нам потребуется использовать формулу для космической скорости \(v\) зависящую от массы тела \(M\) и его радиуса \(r\). Формула выглядит следующим образом:

\[v = \sqrt{\frac{{GM}}{{r}}}\]

Где \(G\) это гравитационная постоянная, которая равна \(6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\).

В данной задаче значение гравитационной постоянной \(G\) останется неизменным. Масса Цереры \(M\) составляет \(9.4 \times 10^{20}\, \text{кг}\), а радиус \(r\) равен \(480\, \text{км}\) или \(480 \times 10^{3}\, \text{м}\).

Подставляя эти значения в формулу, мы получим:

\[v = \sqrt{\frac{{6.67430 \times 10^{-11} \times (9.4 \times 10^{20})}}{{480 \times 10^{3}}}}\]

Выполняя этот расчет, получаем:

\[v \approx 6048.603\, \text{м/c} \approx 6.05\, \text{км/c}\]

Таким образом, первая космическая скорость Цереры составляет приблизительно \(6048.603\, \text{м/c}\) или округленно \(6.05\, \text{км/c}\) в СИ.

2. Для определения скорости спутника на высоте \(2000\, \text{км}\), можно использовать аналогичную формулу для космической скорости \(v\) исходя из радиуса высоты движения \(r\).

\[v = \sqrt{\frac{{GM}}{{r}}}\]

Здесь, \(r\) равно сумме радиуса Земли (\(6400\, \text{км}\)) и высоты движения (\(2000\, \text{км}\)) или общее расстояние от центра Земли до спутника.

Подставляя значения в формулу:

\[v = \sqrt{\frac{{6.67430 \times 10^{-11} \times (5.97 \times 10^{24})}}{{(6400 + 2000) \times 10^{3}}}}\]

После расчета скорости, мы получаем:

\[v \approx 3074.738 \, \text{м/c} \approx 3.07\, \text{км/c}\]

Таким образом, спутник должен двигаться со скоростью приблизительно \(3074.738\, \text{м/c}\) или округленно \(3.07\, \text{км/c}\).

3. Для определения разницы в периодах обращения спутников на высотах \(1100\) и \(8600\) километров, мы можем использовать формулу для периода обращения \(T\) исходя из радиуса высоты движения \(r\).

Формула периода обращения для кругового движения выглядит следующим образом:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{{r^3}}{{GM}}}\]

Мы можем использовать эту формулу для расчета периодов обращения спутников на данных высотах:

Для рассчета периода обращения спутника на высоте \(1100\) км:

\[T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{{(6400 + 1100)^3}}{{6.67430 \times 10^{-11} \times (5.97 \times 10^{24})}}}\]

Аналогично, для периода обращения спутника на высоте \(8600\) км:

\[T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{{(6400 + 8600)^3}}{{6.67430 \times 10^{-11} \times (5.97 \times 10^{24})}}}\]

Выполняя эти вычисления:

\[T_1 \approx 6537.503 \, \text{секунд} \approx 1.82 \, \text{часа}\]

\[T_2 \approx 22392.438 \, \text{секунды} \approx 6.22 \, \text{часа}\]

Разница между периодами обращения составляет примерно \(22392.438 - 6537.503 = 15854.935 \, \text{секунды}\) which is equal to approximately \(4.4\) hours.

Таким образом, период обращения спутников на высотах \(1100\) и \(8600\) км различаются примерно в \(4.4\) раза.

4. Чтобы найти скорость и период обращения спутника на высоте \(35800\) км, мы снова будем использовать формулы для космической скорости и периода обращения спутника.

Для расчета скорости:

\[v = \sqrt{\frac{{6.67430 \times 10^{-11} \times (5.97 \times 10^{24})}}{{(6400 + 35800) \times 10^{3}}}}\]

Выполняя этот расчет, получаем:

\[v \approx 1076.644 \, \text{м/c} \approx 1.08 \, \text{км/c}\]

Теперь давайте рассчитаем период обращения спутника:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{{(6400 + 35800)^3}}{{6.67430 \times 10^{-11} \times (5.97 \times 10^{24})}}}\]

\[T \approx 29047.511 \, \text{секунд}\]

Округляя это значение, получаем примерно \(T \approx 8.07\) часов.

Таким образом, скорость спутника составляет примерно \(1076.644\) м/с или округленно \(1.08\) км/с, а его период обращения приблизительно \(29047.511\) секунд или округленно \(8.07\) часов.