1) Найдите площадь меньшего треугольника, если площадь подобного треугольника больше на 28 см2. При этом периметр

Raduzhnyy_Den

65

1) Чтобы найти площадь меньшего треугольника, нам необходимо знать его параметры. Давайте обозначим его площадь как \(S\) квадратных сантиметров.

Дано, что площадь подобного треугольника больше на 28 см². Обозначим площадь большего треугольника как \(S_1\) квадратных сантиметров. Тогда согласно условию:

\[S_1 = S + 28\]

Также известно, что периметр меньшего треугольника относится к периметру большего треугольника как 3:4. Обозначим периметр меньшего треугольника как \(P\) сантиметров, а периметр большего треугольника как \(P_1\) сантиметров. Тогда:

\[\frac{P}{P_1} = \frac{3}{4}\]

Решение:

Площадь треугольника равна половине произведения его основания \(a\) на высоту \(h\) (S = 0.5 * a * h). Предположим, что основания меньшего и большего треугольников имеют отношение \(k\), тогда \(a = k \cdot a_1\), где \(a_1\) - основание большего треугольника.

Также предположим, что высоты треугольников имеют отношение \(m\), тогда \(h = m \cdot h_1\), где \(h_1\) - высота большего треугольника.

Тогда площади треугольников могут быть записаны следующим образом:

\[S = 0.5 \cdot k \cdot a_1 \cdot m \cdot h_1\]
\[S_1 = 0.5 \cdot a_1 \cdot h_1\]

Так как треугольники подобны, то отношение площадей равно квадрату отношения сторон:

\[\frac{S}{S_1} = \left(\frac{k}{m}\right)^2\]

По условию, \(\frac{P}{P_1} = \frac{3}{4}\), что означает, что отношение сторон треугольников равно \(\frac{3}{4}\):

\(\frac{k}{m} = \frac{3}{4}\)

Тогда площадь меньшего треугольника можно записать как:

\[S = S_1 \cdot \left(\frac{k}{m}\right)^2\]

Заменяем известные значения:

\[S = (S + 28) \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2\]

\[S = (S + 28) \cdot \frac{9}{16}\]

\[16S = 9S + 252\]

\[7S = 252\]

\[S = 36\]

Ответ: Площадь меньшего треугольника равна 36 квадратных сантиметров.

2) В данной ситуации \(db\) является биссектрисой угла \(cba\), а также \(ba⊥da\) и \(ec⊥cb\). Нам необходимо найти \(cb\), если \(da = 9\) см, \(ba = 12\) см и \(ec = 5.4\) см.

Для начала обратим внимание на то, что треугольники \(δbad\) и \(δbce\) подобны по двум углам, так как \(be\) является биссектрисой. Это означает, что отношение соответствующих сторон треугольников будет одинаковым.

Обозначим \(cb\) как \(x\) сантиметров. Тогда у нас имеются следующие отношения:

\(\frac{db}{ba} = \frac{ec}{cb}\)

Заменяем известные значения:

\(\frac{db}{12} = \frac{5.4}{x}\)

По условию задачи известно, что \(da = 9\) см, а также \(ba⊥da\) и \(ec⊥cb\). Так как \(ba⊥da\), то треугольники \(δbad\) и \(δbac\) являются прямоугольными, а значит, мы можем использовать теорему Пифагора. По этой теореме:

\(da^2 = bd^2 + ba^2\)

Заменяем известные значения:

\(9^2 = bd^2 + 12^2\)

\(81 = bd^2 + 144\)

\(bd^2 = 81 - 144\)

\(bd^2 = -63\) (Отрицательное значение стороны невозможно)

Мы приходим к противоречию, так как получили отрицательное значение для стороны \(bd\). В данном случае задача не имеет решения с данными условиями.