1. Найдите площадь поверхности цилиндра, внутри которого находится шар с радиусом 8. 2. Найдите площадь осевого сечения

Щука

52

1. Площадь поверхности цилиндра, внутри которого находится шар с радиусом 8, можно найти следующим образом:

Сначала найдем площадь боковой поверхности цилиндра. Формула для площади боковой поверхности цилиндра:

\[S_{бп} = 2\pi rh\]

где \(\pi\) - это число "пи" (приблизительно равно 3,14159), \(r\) - радиус основания цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

У нас задан радиус шара, который совпадает с радиусом цилиндра, т.е. \(r = 8\).

Чтобы найти высоту цилиндра, нужно учесть радиус шара, который находится внутри цилиндра. Высота цилиндра будет равна удвоенному радиусу шара, т.е. \(h = 2 \cdot 8 = 16\).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\[S_{бп} = 2\pi \cdot 8 \cdot 16 = 256\pi\]

Теперь найдем площадь оснований цилиндра. У цилиндра основаниями являются две окружности, площадь каждой из которых можно найти по формуле:

\[S_{окр} = \pi r^2\]

где \(r\) - радиус окружности.

Подставив значение радиуса, получим:

\[S_{окр} = \pi \cdot 8^2 = 64\pi\]

Общая площадь поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей оснований:

\[S_{ц} = S_{бп} + 2S_{окр} = 256\pi + 2 \cdot 64\pi = 384\pi\]

Ответ: Площадь поверхности цилиндра, внутри которого находится шар с радиусом 8, равна \(384\pi\).

2. Площадь осевого сечения конуса с заданными параметрами может быть найдена следующим образом:

Для начала необходимо определить высоту конуса, h, используя радиус основания, r, и радиус вписанной сферы, R. Учитывая, что радиус вписанной сферы составляет половину радиуса основания, мы можем записать следующее отношение:

\[\frac{r}{R} = \frac{h}{r}\]

Решим это уравнение относительно h:

\[\frac{r^2}{R} = h\]

Подставляя значения: \(r = 6\) и \(R = 3\), получаем:

\[h = \frac{6^2}{3} = 12\]

Теперь, чтобы найти площадь осевого сечения конуса, нам понадобится формула для площади треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса и радиусом основания. Пусть \(a\) будет катетом, равным раширенному радиусу основания, а \(b\) - радиусом основания. Тогда площадь этого треугольника будет составлять половину произведения катетов:

\[S_{ос} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

Здесь \(a = 2r\) и \(b = r\), подставляя эти значения:

\[S_{ос} = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot r = r^2\]

Таким образом, площадь осевого сечения конуса с заданными параметрами равна:

\[S_{ос} = 6^2 = 36\]

Ответ: Площадь осевого сечения конуса, у которого радиус основания равен 6, а радиус вписанной сферы - 3, равна 36.

3. Чтобы найти площадь поверхности и цилиндра и шара, в которых заданы параметры угла между диагоналями осевого сечения цилиндра (60°) и образующая цилиндра (24), а также радиус шара:

Площадь поверхности цилиндра может быть найдена по формуле:

\[S_{цил} = 2\pi rh + 2\pi r^2\]

где \(r\) - радиус основания цилиндра и \(h\) - высота цилиндра.

Угол между диагоналями осевого сечения цилиндра составляет 60°, что означает, что треугольник, образованный диагоналями и высотой цилиндра, является равносторонним. Это также означает, что высота цилиндра равна радиусу цилиндра, т.е. \(h = r\).

Подставляя это значение в формулу, получим:

\[S_{цил} = 2\pi r^2 + 2\pi r^2 = 4\pi r^2\]

Теперь рассмотрим шар, вписанный в цилиндр. Площадь поверхности шара можно выразить следующей формулой:

\[S_{шара} = 4\pi R^2\]

где \(R\) - радиус шара.

Задан радиус шара, равный 8, поэтому:

\[S_{шара} = 4\pi \cdot 8^2 = 256\pi\]

Таким образом, площадь поверхности цилиндра равна \(4\pi r^2\), а площадь поверхности шара равна \(256\pi\).

Ответ: Площадь поверхности цилиндра, в который вписан шар, составляет \(4\pi r^2\), а площадь поверхности шара составляет \(256\pi\).

4. Для определения площади поверхности шара, внутри которого находится конус с заданными параметрами, мы можем использовать соответствующую формулу:

\[S_{шара} = 4\pi R^2\]

где \(R\) - радиус шара.

У шара задан радиус основания конуса, равный 8. Таким образом:

\[S_{шара} = 4\pi \cdot 8^2 = 256\pi\]

Ответ: Площадь поверхности шара, внутри которого находится конус с радиусом основания 8 и высотой 6, равна \(256\pi\).

5. Для определения площади поверхности пирамиды, вписанной в шар, вначале определим высоту пирамиды, а затем найдем площадь ее поверхности.

Шар является вписанным в пирамиду, следовательно, вершина пирамиды совпадает с центром шара, и высота пирамиды проходит через центр шара.

Из условия задачи следует, что прямоугольник с диагональю 10 является основанием пирамиды. Пусть \(a\) и \(b\) будут сторонами прямоугольника. Это означает, что высота пирамиды, проходящая через центр шара, будет являться высотой прямоугольного треугольника, образованного диагональю прямоугольника и радиусом шара. Высота треугольника может быть найдена с использованием теоремы Пифагора:

\[h = \sqrt{c^2 - r^2}\]

где \(c\) - длина диагонали прямоугольника, \(r\) - радиус шара.

Подставим значения и найдем высоту:

\[h = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\]

Теперь вычислим площадь поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности пирамиды может быть найдена следующим образом:

\[S_{пирамиды} = \frac{1}{2} \cdot p \cdot sl\]

где \(p\) - периметр основания пирамиды, \(sl\) - апофема пирамиды.

Периметр основания пирамиды равен четырем разам длины стороны прямоугольника, поэтому \(p = 4 \cdot a\).

Апофема пирамиды может быть найдена используя теорему Пифагора:

\[sl = \sqrt{h^2 + r^2}\]

Подставим значения и найдем площадь поверхности пирамиды:

\[S_{пирамиды} = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot \sqrt{h^2 + r^2}\]

Таким образом, площадь поверхности пирамиды, вписанной в шар с диагональю основания 10, равна \(\frac{1}{2} \cdot 4a \cdot \sqrt{h^2 + r^2}\).

Ответ: Площадь поверхности пирамиды, вписанной в шар, у которой основание - прямоугольник с диагональю 10, равна \(\frac{1}{2} \cdot 4a \cdot \sqrt{h^2 + r^2}\).