Каков радиус вписанной окружности в ромбе ABCD, если угол C равен 60 градусов и длина диагонали AC составляет

Svetik

26

Чтобы найти радиус вписанной окружности в ромбе ABCD, мы можем воспользоваться свойством, которое утверждает, что расстояние от центра вписанной окружности до любой стороны ромба равно радиусу этой окружности.

У нас есть задан угол C, который равен 60 градусов, и длина диагонали AC, которая равна 26 см. Для начала, давайте найдем длину стороны ромба.

В ромбе ABCD, все стороны равны между собой. Обозначим длину стороны ромба как \(s\). Мы можем найти \(s\) с использованием теоремы косинусов для треугольника ADC.

В треугольнике ADC, сторона AC равна 26 см, а угол C равен 60 градусов. Обозначим длину стороны AD (или BD, так как все стороны ромба равны) как \(d\).

Используя теорему косинусов, мы можем записать:

\[26^2 = d^2 + d^2 - 2 \cdot d \cdot d \cdot \cos(60^\circ)\]

Упростим это уравнение:

\[676 = 2d^2 - 2d^2 \cdot \cos(60^\circ)\]

\[676 = 2d^2 - d^2\]

\[676 = d^2\]

Извлекая квадратный корень из обеих сторон уравнения, мы получаем:

\[d = \sqrt{676}\]

\[d = 26\]

Теперь мы знаем, что длина стороны ромба равна 26 см.

Далее, для нахождения радиуса вписанной окружности, мы можем воспользоваться формулой, которая связывает радиус окружности с длиной стороны ромба:

\[r = \frac{s}{2}\]

\[r = \frac{26}{2}\]

\[r = 13\]

Таким образом, радиус вписанной окружности в ромбе ABCD равен 13 см.