1. Найдите площадь прямоугольного треугольника с острым углом α и гипотенузой равной 1. 2. Если диагональ прямоугольной

Солнце_Над_Океаном

18

Перед тем, как приступить к решению первой задачи, давайте вспомним основные свойства прямоугольных треугольников. Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого один из углов равен 90 градусам.

1. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \(\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{Основание} \times \text{Высота}\).

В данной задаче требуется найти площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 1. Обозначим острый угол треугольника как \(\alpha\).

Так как треугольник прямоугольный, то у нас есть соотношение между его сторонами: \(\sin(\alpha) = \frac{\text{Противолежащий катет}}{\text{Гипотенузу}}\).

В данной задаче гипотенуза равна 1, поэтому \(\sin(\alpha) = \frac{\text{Противолежащий катет}}{1}\).

Домножим обе части уравнения на 1, чтобы получить выражение для противолежащего катета: \(\text{Противолежащий катет} = \sin(\alpha)\).

Теперь у нас есть значение противолежащего катета. Осталось найти значение основания треугольника. Мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, а в прямоугольном треугольнике один из углов равен 90 градусам, поэтому сумма двух оставшихся углов равна 90 градусам.

Угол, противолежащий основанию треугольника, равен \(180 - 90 - \alpha = 90 - \alpha\) градусов.

Так как острый угол треугольника равен \(\alpha\), то угол, противолежащий основанию, равен \(90 - \alpha\) градусов. Обозначим этот угол как \(\beta\).

Мы знаем, что синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Выразим синус угла \(\beta\) через соответствующий катет и гипотенузу, подставим известные значения и решим уравнение относительно основания:

\(\sin(\beta) = \frac{\text{Противолежащий катет}}{\text{Гипотенузу}} = \frac{\sin(\alpha)}{1} = \sin(\alpha)\).

Таким образом, основание треугольника равно \(\sin(\alpha)\).

Теперь мы можем найти площадь треугольника, подставив известные значения в формулу для площади:

\(\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \text{Основание} \times \text{Высота} = \frac{1}{2} \times \sin(\alpha) \times \sin(\beta)\).

Так как гипотенуза треугольника равна 1, то высота равна \(\cos(\alpha)\).

Итак, площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 1 равна:

\(\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times \sin(\alpha) \times \sin(\beta) = \frac{1}{2} \times \sin(\alpha) \times \cos(\alpha)\).

2. Для решения второй задачи нам понадобятся свойства прямоугольной трапеции.

Прямоугольная трапеция - это трапеция, у которой один из углов равен 90 градусам.

Дано, что диагональ трапеции (линия, соединяющая вершины, не лежащие на одной линии) перпендикулярна одной из боковых сторон.

Свойство прямоугольной трапеции гласит: "Диагонали прямоугольной трапеции равны и делят друг друга пополам".

Пусть боковые стороны трапеции равны \(a\) и \(b\), а диагональ трапеции равна \(d\).

Согласно свойству прямоугольной трапеции, \(d\) делит боковую сторону \(a\) пополам, поэтому \(a = 2d\).

Так как диагонали трапеции равны, то \(d\) также делит основание \(b\) пополам, поэтому \(b = 2d\).

Теперь выразим отношение оснований прямоугольной трапеции:

\(\frac{a}{b} = \frac{2d}{2d} = \frac{1}{1} = 1\).

Ответ: Отношение между основаниями прямоугольной трапеции, если ее острый угол равен 90 градусам и диагональ перпендикулярна одной из боковых сторон, равно 1.