Яка площа невписаної частини круга з радіусом в 4 сантиметри, коли в нього вписаний шестикутник?

Eduard

68

Для начала, давайте построим изображение данной задачи, чтобы было проще понять, о чем идет речь.

\[
\begin{array}{c}
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw (0,0) circle (4cm);
\draw (0,0) -- ++(60:4cm);
\draw (0,0) -- ++(120:4cm);
\draw (0,0) -- ++(180:4cm);
\draw (0,0) -- ++(240:4cm);
\draw (0,0) -- ++(300:4cm);
\draw (0,0) -- ++(360:4cm);
\draw[dashed] (0,0) -- ++(30:2cm);
\draw[dashed] (0,0) -- ++(-30:2cm);
\draw[dashed] (0,0) -- ++(90:2cm);
\draw[dashed] (0,0) -- ++(-90:2cm);
\draw[dashed] (0,0) -- ++(150:2cm);
\draw[dashed] (0,0) -- ++(-150:2cm);

\draw[<->] (0,0) -- (60:2cm);
\draw[<->] (0,0) -- (30:4cm);
\node[above right,font=\scriptsize] at (60:1cm) {4 см};
\node[right,font=\scriptsize] at (30:2cm) {2 см};
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Теперь, когда мы имеем представление о задаче, давайте найдем площадь вписанного шестиугольника.

Чтобы получить площадь вписанного шестиугольника, нам нужно знать его сторону. Мы можем найти сторону использовав свойство равнобедренного треугольника, где каждый угол составляет 60 градусов и основание треугольника является радиусом окружности.

Таким образом, мы можем найти сторону треугольника, используя тригонометрические соотношения. Опираясь на наше изображение, сторона шестиугольника является основанием равнобедренного треугольника. Пусть \( s \) будет длиной стороны шестиугольника.

Мы знаем, что косинус 30 градусов равен отношению прилегающего катета к гипотенузе. В нашем случае гипотенузой будет радиус, а прилегающий катет - половина стороны шестиугольника:

\[
\cos(30^\circ) = \frac{{s/2}}{{4}}
\]

Упростим это уравнение:

\[
\frac{{\sqrt{3}}}{{2}} = \frac{{s/2}}{{4}}
\]

Чтобы избавиться от деления на 2, умножим обе части уравнения на 2:

\[
\sqrt{3} = \frac{{s}}{{4}}
\]

Теперь, чтобы найти сторону \( s \), умножим обе части уравнения на 4:

\[
4\sqrt{3} = s
\]

Теперь у нас есть значение стороны шестиугольника \( s \), и мы можем найти его площадь. Площадь правильного шестиугольника можно найти, зная только длину его стороны:

\[
\text{{Площадь}} = \frac{{3\sqrt{3} \cdot s^2}}{2}
\]

Вставим значение стороны, которое мы только что нашли:

\[
\text{{Площадь}} = \frac{{3\sqrt{3} \cdot (4\sqrt{3})^2}}{2}
\]

Выполним несколько простых шагов для нахождения площади:

\[
\begin{{align*}}
\text{{Площадь}} &= \frac{{3\sqrt{3} \cdot 48}}{2} \\
&= \frac{{144\sqrt{3}}}{2} \\
&= 72\sqrt{3} \text{{ квадратных сантиметра}}
\end{{align*}}
\]

Таким образом, площадь невписанной части круга радиусом 4 сантиметра, когда в него вписан шестиугольник, составляет \( 72\sqrt{3} \) квадратных сантиметра.