1) Найдите площади двух подобных многоугольников, если их периметры равны 18 см и 36 см, а сумма их площадей составляет

Egor

65

Для решения первой задачи нам нужно найти площади двух подобных многоугольников, зная их периметры и сумму площадей. Давайте пошагово решим эту задачу.

Шаг 1: Обозначим периметры двух подобных многоугольников как P₁ и P₂. В данной задаче P₁ равно 18 см, а P₂ равно 36 см.

Шаг 2: Зная, что периметры подобных фигур относятся как их соответствующие стороны, мы можем записать соотношение:
\(\frac{P₁}{P₂} = \frac{a₁}{a₂}\), где a₁ и a₂ - длины соответствующих сторон многоугольников.

Шаг 3: Из задачи известно, что сумма площадей этих подобных многоугольников составляет 30 см². Обозначим площади как S₁ и S₂. Мы можем записать уравнение:
\(S₁ + S₂ = 30\)

Шаг 4: Мы можем использовать соотношение между площадью и сторонами подобных фигур, которое гласит:
\(\frac{S₁}{S₂} = \left(\frac{a₁}{a₂}\right)^2\)

Шаг 5: Решим систему уравнений, состоящую из уравнения соотношения периметров и уравнения соотношения площадей:
\(\frac{18}{36} = \frac{a₁}{a₂}\) и \(\frac{S₁}{S₂} = \left(\frac{a₁}{a₂}\right)^2\)

Шаг 6: Найдем соотношение сторон (a₁/a₂) из первого уравнения:
\(\frac{18}{36} = \frac{1}{2}\). Значит, \(a₁ = \frac{1}{2}a₂\).

Шаг 7: Подставим это значение (a₁ = (1/2)a₂) во второе уравнение и решим его:
\(\frac{S₁}{S₂} = \left(\frac{1}{2}\right)^2\). Приведем правую часть уравнения к десятичному виду: \(\frac{S₁}{S₂} = \frac{1}{4}\)

Шаг 8: Теперь, используя уравнение площадей (S₁ + S₂ = 30), мы можем записать:
\(\frac{1}{4}S₂ + S₂ = 30\)

Шаг 9: Решим полученное уравнение, чтобы найти S₂:
\(\frac{5}{4}S₂ = 30\) Найдем S₂:
\(S₂ = \frac{4}{5} \cdot 30 = 24\)

Шаг 10: Вычислим значение S₁, используя уравнение площадей:
\(S₁ = 30 - S₂ = 30 - 24 = 6\)

Таким образом, площади двух подобных многоугольников равны 6 см² и 24 см² соответственно.

Перейдем ко второй задаче. Нам нужно найти площадь многоугольника, который был отсечен прямой, проведенной параллельно одной из сторон треугольника, зная периметр отсеченного треугольника и его площадь.

Шаг 1: Обозначим периметр отсеченного треугольника как P₃. Задача дает нам P₃ = 42 см.

Шаг 2: Задача также дает нам площадь отсеченного треугольника. Обозначим его площадь как S₃.

Шаг 3: Предположим, что отсеченный треугольник подобен исходному треугольнику, так как их стороны параллельны. Это позволяет нам установить отношение площадей двух треугольников как соотношение площадей подобных фигур:
\(\frac{S₃}{S} = \left(\frac{P₃}{P}\right)^2\), где S - площадь исходного треугольника, а P - его периметр.

Шаг 4: Поскольку прямая, которая отсекла треугольник, была проведена параллельно одной из его сторон, мы знаем, что отношение сторон отсеченного треугольника к сторонам исходного треугольника равно отношению периметров:
\(\frac{P₃}{P} = \frac{a₃}{a}\), где a₃ - длина стороны отсеченного треугольника, a - длина соответствующей стороны исходного треугольника.

Шаг 5: Найдем соотношение площадей (S₃/S) из уравнения, полученного в шаге 3:
\(\frac{S₃}{S} = \left(\frac{P₃}{P}\right)^2 = \left(\frac{a₃}{a}\right)^2\)

Шаг 6: Подставим известные значения в это уравнение. Из условия задачи известно, что P₃ равно 42 см, а сторона исходного треугольника равна a (неизвестно). Поэтому, можно записать:
\(\frac{S₃}{S} = \left(\frac{42}{P}\right)^2 = \left(\frac{a₃}{a}\right)^2\)

Шаг 7: Решим эту систему уравнений, состоящую из уравнения соотношения площадей и уравнения соотношения сторон:
\(\left(\frac{42}{P}\right)^2 = \left(\frac{a₃}{a}\right)^2\)

Шаг 8: Найдем соотношение сторон (a₃/a) из уравнения выше:
\(\left(\frac{42}{P}\right)^2 = \left(\frac{a₃}{a}\right)^2\) и \(a₃ = \frac{42}{P} \cdot a\)

Шаг 9: Подставим это значение (a₃ = (42/P) * a) в уравнение площадей:
\(\frac{S₃}{S} = \left(\frac{a₃}{a}\right)^2 = \left(\frac{42}{P}\right)^2\)
Значит, \(\frac{S₃}{S} = \left(\frac{42}{84}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\)

Шаг 10: Теперь, используя уравнение площадей (S₃ + S = S), мы можем записать:
\(\frac{1}{4}S + S = S\)

Шаг 11: Решим это уравнение, чтобы найти S (площадь исходного многоугольника):
\(\frac{1}{4}S + S = S\)
\(\frac{1}{4}S = 0\)
\(S = 0\)

Таким образом, площадь многоугольника, который был отсечен прямой, равна 0 см².