1. Найдите следующие значения в колебательном контуре, где ток меняется со временем по закону i=0,1Cos10πt

Pizhon

3

Добро пожаловать! Давайте пошагово решим задачу.

а) Для нахождения ampитудного значения тока (I_0) мы можем использовать формулу для амплитуды гармонического колебания:

\[I_0 = \text{{максимальное значение тока}} - \text{{минимальное значение тока}} \]

В данном случае, максимальное значение тока равно 0,1 A (так как косинус имеет максимальное значение 1), а минимальное значение тока равно -0,1 A (так как косинус имеет минимальное значение -1). Подставляем в формулу:

\[I_0 = 0,1 - (-0,1) = 0,1 + 0,1 = 0,2 \, \text{{Ампер}}\]

Теперь рассчитаем effective значение тока (I_eff) с помощью формулы:

\[I_{\text{{eff}}} = \frac{{I_0}}{{\sqrt{2}}}\]

Подставляем значение I_0 в формулу:

\[I_{\text{{eff}}} = \frac{{0,2}}{{\sqrt{2}}} \approx 0,141 \, \text{{Ампер}}\]

Ответ: а) ampитудное значение тока = 0,2 A, effective значение тока = 0,141 А.

б) Чтобы найти angular frequency (ω), мы можем использовать формулу:

\[\omega = 2\pi f\]

где f - частота, которая в данном случае равна 10 Герц. Подставляем значение f:

\[\omega = 2\pi \cdot 10 \approx 62,83 \, \text{{рад/с}}\]

Чтобы найти resonant frequency (f_0), мы можем использовать формулу:

\[f_0 = \frac{1}{{2\pi\sqrt{LC}}}\]

где L - индуктивность катушки контура, а C - ёмкость конденсатора. В данном случае C = 0,2 мкФ (или 0,2 * 10^(-6) Фарад), подставляем значение C:

\[f_0 = \frac{1}{{2\pi\sqrt{L \cdot 0,2 \cdot 10^{{-6}}}}}\]

Для нахождения периода переменного тока (T), мы можем использовать формулу:

\[T = \frac{1}{f}\]

Подставляем значение f:

\[T = \frac{1}{10} = 0,1 \, \text{{секунды}}\]

Ответ: б) angular frequency (ω) = 62,83 рад/с, resonant frequency (f_0) ≈ 0,159 Герц, T = 0,1 секунды.

в) Для нахождения индуктивности катушки (L) мы можем использовать ту же формулу для резонансной частоты:

\[f_0 = \frac{1}{{2\pi\sqrt{LC}}}\]

Теперь нам нужно решить эту формулу относительно L (индуктивности катушки):

\[L = \frac{1}{{(2\pi f_0)^2 \cdot C}}\]

Подставляем значения f_0 и C:

\[L = \frac{1}{{(2\pi \cdot 0,159)^2 \cdot 0,2 \cdot 10^{-6}}} \approx 9,98 \, \text{{мГенри}}\]

Ответ: в) индуктивность катушки контура ≈ 9,98 мГенри.

г) Чтобы найти maxимальный заряд конденсатора (Q_max), мы можем использовать формулу:

\[Q_{\text{{max}}} = C \cdot V_{\text{{max}}}\]

где C - ёмкость конденсатора, а V_max - максимальное значение напряжения на конденсаторе. Для нахождения V_max мы выразим его через I_0:

\[V_{\text{{max}}} = I_0 \cdot X_C\]

где X_C - реактивное сопротивление конденсатора, которое выражается формулой:

\[X_C = \frac{1}{{2\pi f C}}\]

Подставляем значения I_0 и C:

\[X_C = \frac{1}{{2\pi \cdot 10 \cdot 0,2 \cdot 10^{-6}}} \approx 795,77 \, \text{{Ом}}\]

Теперь, подставляя значение I_0 и X_C в формулу для V_max:

\[V_{\text{{max}}} = 0,2 \cdot 795,77 \approx 159,15 \, \text{{Вольт}}\]

Наконец, подставляем значение C и V_max в формулу для Q_max:

\[Q_{\text{{max}}} = 0,2 \cdot 10^{-6} \cdot 159,15 \approx 0,03183 \, \text{{Кулон}}\]

Ответ: г) maxимальный заряд конденсатора ≈ 0,03183 Кулон.

д) Чтобы найти maxимальное и effective напряжение на обкладках конденсатора, мы можем использовать формулы:

\[V_{\text{{max}}} = I_0 \cdot X_C\]

\[V_{\text{{eff}}} = \frac{{V_{\text{{max}}}}}{{\sqrt{2}}}\]

Мы уже рассчитали значение X_C в предыдущем пункте, и значение I_0 у нас также есть. Теперь подставляем их в формулу для V_{\text{{max}}}:

\[V_{\text{{max}}} = 0,2 \cdot 795,77 \approx 159,15 \, \text{{Вольт}}\]

Для расчета V_{\text{{eff}}} подставляем V_{\text{{max}}} в формулу:

\[V_{\text{{eff}}} = \frac{{159,15}}{{\sqrt{2}}} \approx 112,59 \, \text{{Вольт}}\]

Ответ: д) maxимальное напряжение на обкладках конденсатора ≈ 159,15 Вольт, effective напряжение на обкладках конденсатора ≈ 112,59 Вольт.

е) Чтобы найти энергию электрического и магнитного полей в максимальный момент, мы можем использовать формулы:

\[W_{\text{{эл}}} = \frac{{1}}{{2}} \cdot C \cdot V_{\text{{max}}}^2\]

\[W_{\text{{маг}}} = \frac{{1}}{{2}} \cdot L \cdot I_0^2\]

У нас уже есть значения C, V_{\text{{max}}} и L, I_0. Подставляем их в соответствующие формулы:

\[W_{\text{{эл}}} = \frac{{1}}{{2}} \cdot 0,2 \cdot 10^{-6} \cdot (159,15)^2 \approx 1,273 \cdot 10^{-3} \, \text{{Джоулей}}\]

\[W_{\text{{маг}}} = \frac{{1}}{{2}} \cdot 9,98 \cdot (0,2)^2 \approx 0,1996 \, \text{{Джоулей}}\]

Ответ: е) энергия электрического поля в максимальный момент ≈ 1,273 * 10^(-3) Джоулей, энергия магнитного поля в максимальный момент ≈ 0,1996 Джоулей.

ж) Чтобы найти энергию электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки в тот момент, когда мгновенное значение тока увеличивается, нам нужно знать эти значения магнитных полей. В данной задаче эти значения не предоставлены, поэтому мы не можем рассчитать их для конкретного момента времени. Но если мы знаем значения магнитных полей, мы можем использовать формулы:

\[W_{\text{{эл}}} = \frac{{1}}{{2}} \cdot C \cdot V^2\]

\[W_{\text{{маг}}} = \frac{{1}}{{2}} \cdot L \cdot I^2\]

где V - напряжение на конденсаторе, a I - мгновенное значение тока.

Обратите внимание, что в этих формулах мы используем квадраты значений напряжения и тока, поэтому важно знать их точные значения.

Итак, ответ на вопрос ж) будет зависеть от точного значения мгновенного значения тока и напряжения на конденсаторе в конкретном моменте времени. Если у вас есть дополнительные данные, пожалуйста, предоставьте их, и мы сможем найти ответ с учетом этих значений.