1) Найдите такой квантор, чтобы сделать выражение истинным: 1) (∀x ∈ R) (x^2 +16 > = 8x); 2) (∃n ∈ N) ((9n+15):3

Лина

10

1) В данной задаче нужно найти такой квантор, чтобы выражение стало истинным. Давайте рассмотрим первое выражение:

\[(\forall x \in \mathbb{R}) (x^2 + 16 \geq 8x)\]

Чтобы это выражение было истинным, это должно выполняться для каждого значения x из множества действительных чисел. Давайте посмотрим его поэтапное решение:

1. Начнем с неравенства:
\[x^2 + 16 \geq 8x\]

2. Вычтем 8x из обеих частей неравенства:
\[x^2 - 8x + 16 \geq 0\]

3. Раскроем квадрат:
\[(x - 4)^2 \geq 0\]

4. Квадрат числа всегда неотрицательный, поэтому данное неравенство выполняется для любого значения x.

Таким образом, ответом будет \((\forall x \in \mathbb{R})\), так как данное выражение истинно для всех действительных чисел.

2) Теперь рассмотрим второе выражение:

\[(\exists n \in \mathbb{N}) \left(\frac{9n + 15}{3}\right)\]

Мы ищем такое значение n, при котором это выражение станет истинным. Давайте посмотрим на его решение:

1. Начнем с вычисления выражения в скобках:
\[\frac{9n + 15}{3}\]

2. Произведем упрощение:
\[3n + 5\]

3. Чтобы это выражение было истинным, необходимо найти такое натуральное число n, при котором оно будет положительным. Натуральные числа начинаются с 1.

Таким образом, ответом будет \((\exists n \in \mathbb{N})\), так как при n = 1 данное выражение станет истинным.