Каковы коэффициенты квадратного трехчлена f(x)=ax2+bx+c, если a> 0 и условия |f(1)|=|f(2)|=|f(3)|=2 выполнены?

Lina

9

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Нам дан квадратный трехчлен $f(x)=a{x}^2+bx+c$ с условиями $|f(1)|=|f(2)|=|f(3)|=2$ и параметр $a>0$.

Шаг 1: Рассмотрим первое условие $|f(1)|=2$.
Подставим $x=1$ в формулу $f(x)$:
$f(1)=a\cdot 1^2+b\cdot 1+c$
$f(1)=a+b+c$

Мы знаем, что абсолютное значение $|f(1)|$ равно 2, то есть $|f(1)|=2$. Значит, у нас есть два возможных варианта:
Вариант 1: $f(1)=2$
Вариант 2: $f(1)=-2$

Шаг 2: Рассмотрим второе условие $|f(2)|=2$.
Подставим $x=2$ в формулу $f(x)$:
$f(2)=a\cdot 2^2+b\cdot 2+c$
$f(2)=4a+2b+c$

Мы также знаем, что абсолютное значение $|f(2)|$ равно 2, то есть $|f(2)|=2$. Значит, у нас также есть два возможных варианта:
Вариант 1: $f(2)=2$
Вариант 2: $f(2)=-2$

Шаг 3: Рассмотрим третье условие $|f(3)|=2$.
Подставим $x=3$ в формулу $f(x)$:
$f(3)=a\cdot 3^2+b\cdot 3+c$
$f(3)=9a+3b+c$

Опять же, абсолютное значение $|f(3)|$ равно 2, то есть $|f(3)|=2$. У нас имеются два возможных варианта:
Вариант 1: $f(3)=2$
Вариант 2: $f(3)=-2$

Шаг 4: Возьмем каждый вариант и решим систему трех уравнений, состоящую из результатов предыдущих шагов:
Вариант 1:
$\{\begin{array}{l}a+b+c=2\\ 4a+2b+c=2\\ 9a+3b+c=2\end{array}$

Вариант 2:
$\{\begin{array}{l}a+b+c=-2\\ 4a+2b+c=-2\\ 9a+3b+c=-2\end{array}$

Оба варианта системы уравнений могут быть решены с помощью метода замены или метода Гаусса. Я воспользуюсь методом Гаусса для решения второго варианта.

В результате решения этих систем уравнений, мы получим значения коэффициентов $a$, $b$ и $c$ для каждого варианта условий.

Шаг 5: Определим коэффициенты $a$, $b$ и $c$ для каждого варианта условий.
Подставим значения коэффициентов из решения системы в общую формулу $f(x)=a{x}^2+bx+c$.

Шаг 6: Проверим параметр $a>0$, исключая варианты, где $a\le 0$. Возможно, будут исключены некоторые варианты решений.

После выполнения этих шагов, мы найдем все возможные значения коэффициентов $a$, $b$ и $c$, удовлетворяющие условию $|f(1)|=|f(2)|=|f(3)|=2$ и $a>0$.