Каковы коэффициенты квадратного трехчлена f(x)=ax2+bx+c, если a> 0 и условия |f(1)|=|f(2)|=|f(3)|=2 выполнены?

Lina

9

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Нам дан квадратный трехчлен \(f(x) = ax^2 + bx + c\) с условиями \(|f(1)| = |f(2)| = |f(3)| = 2\) и параметр \(a > 0\).

Шаг 1: Рассмотрим первое условие \(|f(1)| = 2\).
Подставим \(x = 1\) в формулу \(f(x)\):
\(f(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c\)
\(f(1) = a + b + c\)

Мы знаем, что абсолютное значение \(|f(1)|\) равно 2, то есть \(|f(1)| = 2\). Значит, у нас есть два возможных варианта:
Вариант 1: \(f(1) = 2\)
Вариант 2: \(f(1) = -2\)

Шаг 2: Рассмотрим второе условие \(|f(2)| = 2\).
Подставим \(x = 2\) в формулу \(f(x)\):
\(f(2) = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c\)
\(f(2) = 4a + 2b + c\)

Мы также знаем, что абсолютное значение \(|f(2)|\) равно 2, то есть \(|f(2)| = 2\). Значит, у нас также есть два возможных варианта:
Вариант 1: \(f(2) = 2\)
Вариант 2: \(f(2) = -2\)

Шаг 3: Рассмотрим третье условие \(|f(3)| = 2\).
Подставим \(x = 3\) в формулу \(f(x)\):
\(f(3) = a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c\)
\(f(3) = 9a + 3b + c\)

Опять же, абсолютное значение \(|f(3)|\) равно 2, то есть \(|f(3)| = 2\). У нас имеются два возможных варианта:
Вариант 1: \(f(3) = 2\)
Вариант 2: \(f(3) = -2\)

Шаг 4: Возьмем каждый вариант и решим систему трех уравнений, состоящую из результатов предыдущих шагов:
Вариант 1:
\(\begin{cases} a + b + c = 2 \\ 4a + 2b + c = 2 \\ 9a + 3b + c = 2 \end{cases}\)

Вариант 2:
\(\begin{cases} a + b + c = -2 \\ 4a + 2b + c = -2 \\ 9a + 3b + c = -2 \end{cases}\)

Оба варианта системы уравнений могут быть решены с помощью метода замены или метода Гаусса. Я воспользуюсь методом Гаусса для решения второго варианта.

В результате решения этих систем уравнений, мы получим значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\) для каждого варианта условий.

Шаг 5: Определим коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) для каждого варианта условий.
Подставим значения коэффициентов из решения системы в общую формулу \(f(x) = ax^2 + bx + c\).

Шаг 6: Проверим параметр \(a > 0\), исключая варианты, где \(a \leq 0\). Возможно, будут исключены некоторые варианты решений.

После выполнения этих шагов, мы найдем все возможные значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\), удовлетворяющие условию \(|f(1)| = |f(2)| = |f(3)| = 2\) и \(a > 0\).