1. solvetop.com
  2. Геометрия
  3. В четырехугольнике АВСD...

В четырехугольнике АВСD, где АВ=АD и BC=CD, выбрали произвольную точку К на диагонали АС. Подтвердите, что: а) ВК=DC

  • 47
В четырехугольнике АВСD, где АВ=АD и BC=CD, выбрали произвольную точку К на диагонали АС. Подтвердите, что: а) ВК=DC б) угол BKC = угол

Рекомендуется сохранять верные ответы и всегда делиться с друзьями, ведь они могут тебе ещё пригодиться!

Telegram Whatsapp ВКонтакте
Вечный_Сон
20
Дано: Четырехугольник АВСD, где АВ=АD и BC=CD. Точка К выбрана произвольно на диагонали АС.

а) Нам нужно доказать, что ВК=DC.

Доказательство:
1. Так как АВ=АD, то треугольники АВК и АДК являются равнобедренными, так как у них две стороны равны.
2. Значит, углы ВАК и ДАК равны по определению равнобедренного треугольника.
3. Также, по условию BC=CD, значит треугольники ВКС и КДС - равнобедренные.
4. Значит, углы ВКС и КДС равны.
5. Так как углы ВАК и ДАК равны, и углы ВКС и КДС равны, то углы ВАК и ВКС также равны.
6. Значит, треугольники ВАК и ВКС подобны по признаку равенства двух углов.
7. Следовательно, соответствующие стороны данных треугольников пропорциональны.
8. Так как ВК является стороной треугольника ВКС, а DC - стороной треугольника ВАК, то ВК/DC = КС/АК.
9. Значит, ВК/DC = BC/AD, так как КС=BC и АК=AD.
10. Но по условию BC=CD, значит BC/AD = CD/AD.
11. Таким образом, ВК/DC = CD/AD.
12. Поскольку по условию задачи АВ=АD, то AD ≠ 0.
13. Значит, мы можем сократить обе части равенства на AD.
14. Получаем ВК/DC = CD/AD = 1.
15. Значит, ВК=DC (так как отношение двух равных чисел равно 1).

Таким образом, мы доказали, что ВК=DC.

б) Нам нужно подтвердить, что угол BKC равен углу BAC.

Доказательство:
1. Так как АВ=АD и углы ВАК и ДАК равны (доказано в пункте а)), то треугольники ВАК и ВДК равны по признаку равенства двух сторон и угла между ними.
2. Значит, углы ВКА и КВД равны. Также, угол ВКА равен углу ВАК.
3. В С для треугольника ВКС у нас уже доказано, что углы ВКС и КДС равны (доказано в пункте а)).
4. Таким образом, угол BKC является суммой углов ВКА и КВД.
5. Поскольку углы ВКА и КВД равны, их сумма равна углу ВКА (так как они являются соответствующими углами равных треугольников ВАК и ВДК).
6. Значит, угол BKC равен углу ВКА.
7. Но угол ВКА равен углу BAC, так как это один и тот же угол.
8. Следовательно, угол BKC равен углу BAC.

Таким образом, мы подтвердили, что угол BKC равен углу BAC.