1. Найдите значение угла ∠A в четырёхугольнике ABCD, где AB = CD, ∠ABD = ∠CDB = 25°, ∠BDA = 55°. Варианты ответов

Золотой_Монет

23

1. Для решения данной задачи нам понадобятся свойства четырехугольников.

Сначала обратим внимание на то, что уголы ABD и CDB равны между собой, так как стороны AB и CD равны по условию (AB = CD).

Далее мы знаем, что сумма углов, образованных диагоналями внутри четырехугольника, равна 360 градусам. Это свойство нам позволит найти значение угла A.

Так как углы ABD и CDB равны 25 градусам, и угол BDA равен 55 градусам, мы можем посчитать значение угла BDC, заметив, что углы ABD, BDA, и BDC образуют прямую линию (сумма углов прямой равна 180 градусов).

Угол BDC = 180° - ∠ABD - ∠BDA = 180° - 25° - 55° = 100°.

Теперь мы можем найти значение угла A, заметив, что сумма углов ABC и BCD равна 180 градусов (так как это внутренние углы треугольника ABC и BCD).

Угол A = 180° - ∠ABC - ∠BCD = 180° - ∠ABD - ∠CDB = 180° - 25° - 100° = 55°.

Ответ: угол ∠A равен 55 градусам.

2. Для решения данной задачи мы будем использовать свойство биссектрисы угла параллелограмма.

Обратим внимание на то, что биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M и биссектриса угла C пересекает сторону AD в точке K.

Зная, что точка M является серединой стороны BC, мы можем установить равенство BM = MC.

Также, зная, что биссектриса угла A делит угол A на две равные части, мы можем установить равенство угла MAB = MAC.

Поэтому треугольники MAB и MAC являются равнобедренными, и мы можем установить равенство MA = MB.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник AMC. Так как MA = MB, то мы можем установить равенство углов MCA и MCB (по свойствам равнобедренного треугольника).

Так как угол MCA равен углу MCB, а их сумма равна 180 градусов (внутренние углы треугольника), то каждый из этих углов равен половине суммы этих двух углов.

Таким образом, мы можем установить равенство угла MCA = MCB = (180° - ∠C) / 2 = (180° - ∠AMC) / 2.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник AMC и использовать факт, что сумма углов треугольника равна 180 градусов.

∠AMC = 180° - ∠MCA - ∠MCB = 180° - [(180° - ∠AMC) / 2] - [(180° - ∠AMC) / 2] = 180° - (180° - ∠AMC) = ∠AMC.

Теперь мы можем решить данное уравнение:

∠AMC = ∠AMC
∠AMC - ∠AMC = 0
0 = 0

Ответ: длина отрезка CK равна 12 см.

3. Для решения данной задачи нам понадобятся свойства параллелограмма и середины сторон.

Обратим внимание на то, что сторона BC равна 10 см и сторона AB равна 8 см. Также, точка M является серединой стороны BC, а точка K - серединой стороны AD.

Так как M является серединой стороны BC, то длина BM равна MC, то есть BM = MC = BC / 2 = 10 см / 2 = 5 см.

Также, так как K является серединой стороны AD, то длина AK равна KD, то есть AK = KD = AD / 2 = AB = 8 см.

Теперь мы можем рассмотреть четырехугольник AMCK. Учитывая, что CK равно 7 см, мы можем найти сторону AK, используя факт, что AK = KD = 8 см.

Тогда сторона AM будет равна AM = AK + KM = AK + BM = 8 см + 5 см = 13 см.

Также мы можем найти сторону MC, используя факт, что MC = BC / 2 = 10 см / 2 = 5 см.

Теперь мы можем найти периметр четырехугольника AMCK, используя формулу:

Периметр = AM + MC + CK + KA = 13 см + 5 см + 7 см + 8 см = 33 см.

Ответ: периметр четырехугольника AMCK равен 33 см.