Каков периметр квадрата, у которого диагональ равна 40 см и вершины находятся в серединах его сторон?

Moroz

23

Давайте решим эту задачу пошагово. Для начала давайте воспользуемся тем фактом, что диагональ квадрата разбивает его на два прямоугольных треугольника. Поскольку вершины квадрата находятся в серединах его сторон, каждый из этих треугольников будет прямоугольным и равнобедренным. Теперь, приступим к решению.

1. Обратимся к одному из наших равнобедренных треугольников. Пусть длина одной из сторон квадрата равна \(x\) (выбираем \(x\) для удобства). Это же значение будет равно и длине вертикального катета треугольника.

2. Используем теорему Пифагора для нахождения длины горизонтального катета треугольника: \[x^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \text{диагональ}^2\] В нашем случае, зная, что диагональ равна 40 см, получаем: \[x^2 + \frac{x^2}{4} = 40^2\]

3. Складываем дробные слагаемые и приводим уравнение к общему знаменателю: \[\frac{5x^2}{4} = 1600\]

4. Умножаем обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби: \[5x^2 = 6400\]

5. Решаем полученное квадратное уравнение. Для этого извлекаем корень из обеих частей уравнения: \[x = \sqrt{\frac{6400}{5}}\]

6. Вычисляем значение \(x\): \[x \approx 35,78 \text{ см}\]

7. Раз мы нашли длину одной из сторон квадрата, то его периметр будет равен удвоенной длине стороны: \[P = 2x \approx 2 \cdot 35,78 \approx 71,56 \text{ см}\]

Ответ: Периметр данного квадрата составляет примерно 71,56 см.