1) Найти длину третьей стороны и остальные углы треугольника, если две стороны равны 8 см и √72 см, а угол

Dozhd_3255

49

Конечно! Давайте решим эти задачи по одной.

1) Для решения этой задачи мы будем использовать теорему косинусов. По этой теореме, квадрат третьей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, противолежащего третьей стороне. Выражая это в виде формулы, получаем:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\]

Где c - третья сторона треугольника, a и b - известные стороны, C - угол, противолежащий третьей стороне.

В нашей задаче у нас две известные стороны: a = 8 см и b = \(\sqrt{72}\) см. Это значит, что:

\[c^2 = 8^2 + (\sqrt{72})^2 - 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{72} \cdot \cos(45^\circ)\]

Чтобы найти значение угла косинуса, мы можем использовать таблицу значений тригонометрических функций или калькулятор. Для угла \(45^\circ\) значение косинуса равно \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Подставляя соответствующие значения, получаем:

\[c^2 = 64 + 72 - 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{72} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\]

\[c^2 = 136 - 16 \cdot \sqrt{72}\]

Чтобы найти длину третьей стороны, нам нужно извлечь квадратный корень:

\[c = \sqrt{136 - 16 \cdot \sqrt{72}}\]

Теперь мы можем вычислить значение через калькулятор:

\[c \approx 2.13\] см.

Теперь, чтобы найти углы треугольника, мы можем использовать теорему синусов. По этой теореме, отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла остается постоянным в треугольнике. Используя эту теорему, мы можем рассчитать значения остальных углов.

Пусть A - угол, противолежащий стороне 8 см, B - угол, противолежащий стороне \(\sqrt{72}\) см, C - угол, противолежащий стороне c. Тогда:

\[\frac{8}{\sin(A)} = \frac{\sqrt{72}}{\sin(B)} = \frac{2.13}{\sin(C)}\]

Мы знаем, что угол A равен 45°. Мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти значения углов B и C:

\[\sin(B) = \frac{\sqrt{72}}{8} \cdot \sin(A) \approx 0.6\]
\[B \approx \arcsin(0.6) \approx 36.87°\]

\[\sin(C) = \frac{2.13}{8} \cdot \sin(A) \approx 0.265\]
\[C \approx \arcsin(0.265) \approx 15.56°\]

Таким образом, третья сторона имеет длину около 2.13 см, угол B около 36.87°, и угол C около 15.56°.

2) Для решения этой задачи также используем теорему косинусов. По этой теореме, квадрат третьей стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, противолежащего третьей стороне. Подставляя значения, получаем:

\[c^2 = 6^2 + 18^2 - 2 \cdot 6 \cdot 18 \cdot \cos(-60^\circ)\]

Здесь мы указали угол в радианах: \(-60^\circ = -\frac{\pi}{3}\). Используем это значение:

\[c^2 = 36 + 324 + 2 \cdot 6 \cdot 18 \cdot \cos(-\frac{\pi}{3})\]

\[c^2 = 360 + 216 \cdot (-\frac{1}{2})\]

\[c^2 = 360 - 108 = 252\]

\[c = \sqrt{252} \approx 15.87\] см.

Таким образом, третья сторона треугольника имеет длину около 15.87 см.

3) Для решения этой задачи также будем использовать теорему косинусов. Мы имеем стороны треугольника: a = 7 см, b = 12 см и c = \(\sqrt{109}\) см. Таким образом,

\[c^2 = 7^2 + 12^2 - 2 \cdot 7 \cdot 12 \cdot \cos(C)\]

\[109 = 49 + 144 - 168 \cdot \cos(C)\]

\[\cos(C) = \frac{49 + 144 - 109}{168} = \frac{84}{168} = \frac{1}{2}\]

Из таблицы значений тригонометрических функций или с помощью калькулятора мы найдем угол, косинус которого равен \(\frac{1}{2}\):

\[C \approx 60^\circ\]

Таким образом, угол C, противолежащий средней стороне, составляет около 60°.