Решение теоремы Пифагора в геометрии 8 класса

Ледяная_Магия

42

Конечно, я могу помочь вам решить теорему Пифагора в геометрии для учащихся 8 класса школы. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Давайте разберемся, как мы можем доказать эту теорему.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой С и катетами А и В. Мы хотим доказать, что \(AB^2 + BC^2 = AC^2\).

Шаг 1: Нарисуем треугольник ABC на листе бумаги, обозначив его стороны и углы.

Шаг 2: Используя прямой угол (90 градусов), разделите гипотенузу AC на два отрезка CH и AH, где H - точка на гипотенузе. Теперь треугольник ABC разбивается на два прямоугольных треугольника ACH и CBH.

Шаг 3: Рассмотрим треугольник ACH. Он также является прямоугольным треугольником, поэтому мы можем применить теорему Пифагора для него. Согласно теореме Пифагора, \(AH^2 + CH^2 = AC^2\).

Шаг 4: Рассмотрим треугольник CBH. Также применяем теорему Пифагора для него: \(BH^2 + CH^2 = BC^2\).

Шаг 5: Теперь объединим уравнения, полученные в шагах 3 и 4. Мы имеем: \(AH^2 + CH^2 + BH^2 + CH^2 = AC^2 + BC^2\).

Шаг 6: Упростим это уравнение: \(AH^2 + BH^2 + 2CH^2 = AC^2 + BC^2\).

Шаг 7: Заметим, что \(AH^2 + BH^2\) - это квадрат длины гипотенузы AB. Таким образом, мы можем переписать уравнение в следующем виде: \(AB^2 + 2CH^2 = AC^2 + BC^2\).

Шаг 8: Опять же, обратите внимание, что \(2CH^2\) - это два квадрата длины катета CH. Обозначим длину каждого катета через a и b. Тогда \(2CH^2 = 2a^2 + 2b^2 = 2(a^2 + b^2)\).

Шаг 9: Подставим это значение в уравнение из шага 7: \(AB^2 + 2(a^2 + b^2) = AC^2 + BC^2\).

Шаг 10: Упростим уравнение: \(AB^2 + 2a^2 + 2b^2 = AC^2 + BC^2\).

Шаг 11: Заметим, что \(2a^2 + 2b^2\) - это два квадрата длины катетов. Обозначим квадрат длины катета через c. Тогда \(2a^2 + 2b^2 = 2c^2\).

Шаг 12: Подставим это значение в уравнение из шага 10: \(AB^2 + 2c^2 = AC^2 + BC^2\).

Шаг 13: Теперь, заменим \(2c^2\) на \(AB^2\) (согласно теореме Пифагора для треугольника ABC): \(AB^2 + AB^2 = AC^2 + BC^2\).

Шаг 14: Произведем упрощение: \(2AB^2 = AC^2 + BC^2\).

Шаг 15: Разделим обе части уравнения на 2: \(AB^2 = \frac{{AC^2 + BC^2}}{2}\).

Вот и все! Мы доказали теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC.

Обратите внимание, что важно следовать всем шагам и хорошо обосновывать каждое действие, чтобы ответ был понятен школьнику.