1. Найти координаты точки D, если точка E (3, 4) является серединой отрезка DF, а точка F (8, 2). 2. Под условием

Zvezdopad_Feya

13

Решение задачи:

1. Для нахождения координаты точки D, зная, что точка E является серединой отрезка DF, мы можем использовать формулу для нахождения координат точки, которая является серединой отрезка. Формула выглядит следующим образом:
\[x_D = 2 \cdot x_E - x_F\]
\[y_D = 2 \cdot y_E - y_F\]

Подставляя известные значения, получим:
\[x_D = 2 \cdot 3 - 8 = -2\]
\[y_D = 2 \cdot 4 - 2 = 6\]

Таким образом, координаты точки D равны (-2, 6).

2. a) Так как точка C является точкой на окружности, а точка D является противоположной точкой на этой окружности, то координаты центра окружности будут равны среднему арифметическому координат точек C и D. Мы можем использовать следующие формулы для вычисления координат центра окружности:
\[x_{center} = \frac{{x_C + x_D}}{2}\]
\[y_{center} = \frac{{y_C + y_D}}{2}\]

Подставляя известные значения, получаем:
\[x_{center} = \frac{{-6 + 4}}{2} = -1\]
\[y_{center} = \frac{{-1 - 5}}{2} = -3\]

Таким образом, координаты центра окружности равны (-1, -3).

b) Уравнение окружности можно записать в виде:
\[(x - x_{center})^2 + (y - y_{center})^2 = r^2\]
где \(r\) - радиус окружности.

Зная координаты центра окружности и одну из точек на окружности (например, точку C или D), мы можем вычислить радиус окружности, используя следующую формулу:
\[r = \sqrt{{(x_C - x_{center})^2 + (y_C - y_{center})^2}}\]

Подставляя известные значения, получаем:
\[r = \sqrt{{(-6 - (-1))^2 + (-1 - (-3))^2}} = \sqrt{{25 + 4}} = \sqrt{29}\]

Таким образом, уравнение окружности будет иметь вид:
\[(x - (-1))^2 + (y - (-3))^2 = (\sqrt{29})^2\]

3. Для определения взаимного расположения двух окружностей, заданных уравнениями, мы можем проанализировать их геометрический вид.

Уравнение первой окружности: \((x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 4\)
Уравнение второй окружности: \((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9\)

Уравнение окружности имеет вид \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), где (a,b) - координаты центра окружности, r - радиус.

Из уравнений видно, что центр первой окружности находится в точке (1, 3), а радиус равен 2.
Центр второй окружности находится в точке (2, -1), а радиус равен 3.

Опираясь на эти данные, мы можем сказать, что окружности пересекаются, так как расстояние между их центрами меньше, чем сумма их радиусов.

4. Для нахождения длины средней линии прямоугольной трапеции, основаниями которой являются отрезки AB и CD, можно использовать формулу расстояния между двумя точками. Формула выглядит следующим образом:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Подставляя известные координаты точек A (-6, -2) и C (1, 7), получаем:
\[d = \sqrt{{(1 - (-6))^2 + (7 - (-2))^2}} = \sqrt{{7^2 + 9^2}} = \sqrt{{49 + 81}} = \sqrt{130}\]

Таким образом, длина средней линии равна \(\sqrt{130}\).

Для вычисления площади прямоугольной трапеции, нам необходимо знать высоту трапеции. Высота трапеции - это расстояние между параллельными сторонами трапеции. В нашем случае, это расстояние между отрезками AD и BC.

Найдем координаты точек D (3, 1) и B (-2, 6), затем вычислим расстояние между ними:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
\[d = \sqrt{{(-2 - 3)^2 + (6 - 1)^2}} = \sqrt{{(-5)^2 + 5^2}} = \sqrt{{25 + 25}} = \sqrt{50}\]

Таким образом, высота равна \(\sqrt{50}\).

Площадь прямоугольной трапеции может быть вычислена с использованием следующей формулы:
\[S = \frac{{(a + b) \cdot h}}{2}\]
где \(a\) и \(b\) - длины оснований трапеции, \(h\) - высота.

Подставляя известные значения, получаем:
\[S = \frac{{(-2 - 6) \cdot (\sqrt{130} + \sqrt{50})}}{2} = \frac{{-8 \cdot (\sqrt{130} + \sqrt{50})}}{2} = -4 \cdot (\sqrt{130} + \sqrt{50})\]

Таким образом, площадь прямоугольной трапеции равна \(-4 \cdot (\sqrt{130} + \sqrt{50})\).