1. Найти максимальное значение заряда на конденсаторе в колебательном контуре с характеристиками: ёмкость C равна

Petrovich

65

1. Для нахождения максимального значения заряда на конденсаторе в колебательном контуре, мы можем использовать следующую формулу, которая связывает заряд на конденсаторе (Q), ёмкость (C) и напряжение на конденсаторе (U):

\[Q = CU\]

Зная ёмкость конденсатора (C) равную 100 пикофарадам (100 пФ), мы можем продолжить вычисления. Но для того чтобы найти напряжение на конденсаторе (U), требуется ещё одна формула. В колебательном контуре сопротивление отсутствует, и мы можем использовать следующее соотношение, которое связывает заряд на конденсаторе (Q), индуктивность (L) и максимальное значение тока в катушке (I):

\[L = \frac{Q}{I}\]

Подставим известные величины:

\[2 \, \text{генри} = \frac{Q}{0.0012 \, \text{ампера}}\]

Теперь можем выразить заряд:

\[Q = 2 \, \text{генри} \times 0.0012 \, \text{ампера}\]

\[Q = 0.0024 \, \text{Кл}\]

Используя формулу \(Q = CU\), можем выразить напряжение на конденсаторе:

\[0.0024 \, \text{Кл} = 100 \times 10^{-12} \, \text{Ф} \times U\]

Решим это уравнение относительно напряжения \(U\):

\[U = \frac{0.0024 \, \text{Кл}}{100 \times 10^{-12} \, \text{Ф}}\]

\[U = 24000 \, \text{В}\]

Таким образом, максимальное значение заряда на конденсаторе составляет \(0.0024 \, \text{Кл}\), а напряжение на конденсаторе равно \(24000 \, \text{В}\).

2. Для определения амплитуды силы тока (\(I_{max}\)), периода колебания (\(T\)) и частоты колебаний (\(f\)) в колебательном контуре с заданной зависимостью силы тока в катушке \(i = 0.3 \sin(100\pi t)\), мы можем использовать следующие формулы:

Амплитуда силы тока:
\[I_{max} = |A|\]

Период колебания системы:
\[T = \frac{2\pi}{\omega}\]

Частота колебаний:
\[f = \frac{1}{T}\]

Период колебания (\(T\)) и периодическая функция \(i = A\sin(\omega t)\) связаны следующей формулой: \(T = \frac{2\pi}{\omega}\).

Сравнивая данную зависимость с формулой для периодической функции, мы видим, что \(\omega = 100\pi\), поэтому:

\[T = \frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50} \, \text{с}\]

Теперь можно найти частоту колебаний:

\[f = \frac{1}{T} = \frac{1}{\frac{1}{50}} = 50 \, \text{Гц}\]

Таким образом, амплитуда силы тока равна \(0.3\) ампера, период колебания системы равен \(1/50\) секунды, а частота колебаний равна \(50\) герцам.

3. Чтобы найти емкость конденсатора в колебательном контуре, состоящем из катушки с индуктивностью \(0.5\) генри и конденсатора с неизвестной емкостью, нам понадобится использовать формулу, которая связывает индуктивность (L), емкость (C) и частоту колебаний (f):

\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]

Максимальное значение тока в этом контуре равно \(0.01\) ампера, поэтому мы можем использовать его для дальнейших вычислений:

\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{0.5 \, \text{генри} \times C}}\]

Для определенности, предположим, что частота колебаний равна \(50\) герцам, тогда:

\[50 = \frac{1}{2\pi\sqrt{0.5 \, \text{генри} \times C}}\]

Решим это уравнение относительно ёмкости \(C\):

\[\sqrt{0.5 \, \text{генри} \times C} = \frac{1}{100\pi}\]

\[0.5 \, \text{генри} \times C = \left(\frac{1}{100\pi}\right)^2\]

\[C = \frac{\left(\frac{1}{100\pi}\right)^2}{0.5 \, \text{генри}}\]

\[C \approx 2.544 \times 10^{-9} \, \text{Ф}\]

Таким образом, емкость конденсатора в этом колебательном контуре составляет примерно \(2.544\) нанофарада (\(2.544 \times 10^{-9}\) Ф).