1. Найти угловое ускорение ε в момент времени t = 3 с, если зависимость угла поворота φ радиуса колеса от времени

Malysh_3819

27

Задача 1:
Для решения этой задачи воспользуемся формулой для углового ускорения:
\[\epsilon = \frac{{d^2\varphi}}{{dt^2}}\]

Имея зависимость угла поворота от времени, мы можем найти производную от этой функции по времени, а затем взять еще одну производную для получения углового ускорения.

Дано:
\(\varphi(t) = 4 + 2t + t^2\)

Для нахождения первой производной вычислим производную каждого слагаемого:
\(\frac{{d\varphi}}{{dt}} = \frac{{d(4 + 2t + t^2)}}{{dt}} = \frac{{d(4)}}{{dt}} + \frac{{d(2t)}}{{dt}} + \frac{{d(t^2)}}{{dt}} = 0 + 2 + 2t = 2 + 2t\)

Теперь найдем вторую производную:
\(\frac{{d^2\varphi}}{{dt^2}} = \frac{{d(2 + 2t)}}{{dt}} = \frac{{d(2)}}{{dt}} + \frac{{d(2t)}}{{dt}} = 0 + 2 = 2\)

Таким образом, угловое ускорение в момент времени \(t = 3\) секунды равно \(\epsilon = 2\).

Ответ: Угловое ускорение в момент времени \(t = 3\) секунды равно 2 радиан в секунду в квадрате.

Задача 2:
Для решения этой задачи воспользуемся формулой для горизонтальной и вертикальной составляющих скорости:
\(v_x = v_0 \cdot \cos(\alpha)\)
\(v_y = v_0 \cdot \sin(\alpha)\)

Где \(v_0\) - начальная скорость, \(\alpha\) - угол броска.

Дано:
\(v_0 = 5 \, м/с\)
\(\alpha = 30^\circ\)

Переведем угол в радианы:
\(\alpha = 30^\circ \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}\)

Подставим значения в формулы:
\(v_x = 5 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \approx 4.33 \, м/с\)
\(v_y = 5 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \approx 2.50 \, м/с\)

Теперь найдем скорость падения тела:
\(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\)

\(v = \sqrt{4.33^2 + 2.50^2} \approx 4.95 \, м/с\)

Ответ: Скорость падения тела, брошенного под углом \(30^\circ\) к горизонту со скоростью \(5 \, м/с\), составляет приблизительно \(4.95 \, м/с\).

Задача 3:
Для решения этой задачи мы воспользуемся аналогичным методом как в задаче 1. Но в этом случае нас интересует угловая скорость \(\omega\), а не угловое ускорение \(\epsilon\).

Дано:
\(\varphi(t) = 4 + 2t + t^2\)

Найдем первую производную:
\(\frac{d\varphi}{dt} = \frac{d(4 + 2t + t^2)}{dt} = 2 + 2t\)

Теперь найдем угловую скорость:
\(\omega = \frac{d\varphi}{dt}\)
\(\omega = 2 + 2t\)

Подставим \(t = 3\) секунды:
\(\omega = 2 + 2 \cdot 3 = 2 + 6 = 8\) радиан в секунду.

Ответ: Значение угловой скорости \(\omega\) в момент времени \(t = 3\) секунды равно 8 радиан в секунду.

Задача 4:
Для решения этой задачи воспользуемся формулой для работы:
\(W = F \cdot s \cdot \cos(\theta)\)

Где \(F\) - сила, \(s\) - перемещение, \(\theta\) - угол между направлением силы и направлением перемещения.

Дано:
\(F = 5 \, Н\)
\(s = 4 \, м\)
\(\theta = 0^\circ\) (так как сила направлена вдоль направления перемещения)

Подставим значения в формулу:
\(W = 5 \cdot 4 \cdot \cos(0) = 20 \cdot 1 = 20 \, Дж\)

Ответ: Работа действующей силы, если тело переместилось на расстояние \(4 \, м\) под действием силы \(5 \, Н\), равна \(20 \, Дж\).