1. Найти значения функции f(x) = x^2/2 - 3x при x=2 и x=-3; Найти корни функции. 2. Найти область определения функции

Пушистик

38

1. Для первой задачи, мы должны найти значения функции \(f(x) = \frac{x^2}{2} - 3x\) при \(x = 2\) и \(x = -3\).

Для \(x = 2\):
\[f(2) = \frac{2^2}{2} - 3 \cdot 2\]
\[f(2) = \frac{4}{2} - 6\]
\[f(2) = 2 - 6\]
\[f(2) = -4\]

Для \(x = -3\):
\[f(-3) = \frac{(-3)^2}{2} - 3 \cdot (-3)\]
\[f(-3) = \frac{9}{2} + 9\]
\[f(-3) = \frac{9}{2} + \frac{18}{2}\]
\[f(-3) = \frac{9 + 18}{2}\]
\[f(-3) = \frac{27}{2}\]

Чтобы найти корни функции, мы должны найти значения \(x\), при которых \(f(x) = 0\).

Для этого, мы нужно решить квадратное уравнение \(\frac{x^2}{2} - 3x = 0\).

Мы можем факторизовать эту функцию:
\(\frac{x^2}{2} - 3x = \frac{x(x - 6)}{2} = 0\)

Таким образом, корни функции равны \(x = 0\) и \(x = 6\).

2. Вторая задача требует найти область определения функции \(f(x) = \frac{x - 5}{x^2 + x - 6}\).

Область определения - это набор значений \(x\), при которых функция существует и определена.

Для этой функции, мы не можем делить на ноль и не можем брать квадратный корень из отрицательного числа. Также, в знаменателе в уравнении \(x^2 + x - 6\), мы не можем иметь ноль.

Разложим знаменатель на множители: \(x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)\).

Таким образом, область определения функции будет:
\(-\infty < x < -3\) или \(-3 < x < 2\) или \(x > 2\).

3. Третья задача просит построить график функции \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) и использовать его для нахождения: области значений функции, промежутка убывания функции и решений неравенства \(f(x) < 0\).

Для начала, построим график функции \(f(x)\):

\[graph{f(x)=x^2 - 2x - 3}\]

Область значений функции - это набор значений \(y\), которые функция принимает. Из графика видно, что функция принимает все значения \(y\) выше графика, то есть область значений - это все значение \(y\) такие, что \(y \geq -4.25\).

Промежуток убывания функции - это набор значений \(x\), при которых функция убывает. Из графика видно, что функция убывает при \(x < 1\).

Для решения неравенства \(f(x) < 0\), мы ищем значения \(x\), при которых значение функции меньше нуля. Из графика видно, что неравенство выполняется при \(x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)\).

4. Четвертая задача требует построить график функций \(f(x) = \sqrt{x} + 3\) и \(f(x) = \sqrt{x + 3}\).

\[graph{f(x)=\sqrt{x} + 3, f(x)=\sqrt{x + 3}}\]

5. Пятая задача требует найти область определения функции \(f(x) = \sqrt{x - 3} + \frac{4}{x^2 - 25}\).

Область определения - это набор значений \(x\), при которых функция существует и определена.

Для этой функции, мы не можем брать квадратный корень из отрицательного числа. Также, в знаменателе в уравнении \(x^2 - 25\), мы не можем иметь ноль.

Таким образом, область определения функции будет:
\(x > 3\) и \(x \neq \pm 5\).

6. Шестая задача требует найти значения \(b\) и \(c\), при которых вершина параболы \(y = -2x^2 + bx + c\) будет в точке.

Формула для вершины параболы: \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты параболы.

Сравнивая это с нашим уравнением, мы видим, что \(a = -2\) и \(b = -b\) (так как вершина параболы). Следовательно, \(x = \frac{b}{4}\).

Таким образом, вершина параболы будет в точке \(\left(\frac{b}{4}, f\left(\frac{b}{4}\right)\right)\).