1) Найти значения x, удовлетворяющие неравенству (x+4)(x+5)-x ≤ 5. 2) Определить значения x, для которых неравенство

Малыш

11

1) Давайте решим первую задачу. Нам нужно найти значения x, которые удовлетворяют данному неравенству: \((x+4)(x+5)-x \leq 5\).

Давайте распространим скобки и упростим выражение:
\( (x^2 + 9x + 20) - x \leq 5 \Rightarrow x^2 + 9x + 20 - x \leq 5 \Rightarrow x^2 + 8x + 20 \leq 5\)

Теперь приведем все слагаемые влево и получим квадратное уравнение:
\(x^2 + 8x + 20 - 5 \leq 0\) или \(x^2 + 8x + 15 \leq 0\)

Это квадратное уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c \leq 0\), где \(a = 1\), \(b = 8\) и \(c = 15\).

Теперь найдем значения x, удовлетворяющие неравенству. Для этого нам понадобится построить график квадратного уравнения и найти его корни.

Вычислим дискриминант \(D = b^2 - 4ac\) для нашего уравнения:
\(D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4\)

Так как дискриминант положительный, у нас есть два решения:
\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 2}{2} = -5\)
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2}{2} = -3\)

Таким образом, значения x, удовлетворяющие данному неравенству, это от -5 до -3 включительно:
\(-5 \leq x \leq -3\)

2) Давайте решим вторую задачу. Нам нужно найти значения x, для которых выполняется неравенство: \((5x+1)(3x-1) > (4x-1)(x+2)\).

Для начала распространим скобки и упростим выражение:
\(15x^2 - 5x + 3x - 1 > 4x^2 + 8x - x - 2\)

Сгруппируем слагаемые:
\(15x^2 - 2x - 1 > 4x^2 + 7x - 2\)

Приведем все слагаемые влево и получим квадратное уравнение:
\(15x^2 - 4x^2 - 2x - 7x - 1 + 2 > 0\) или \(11x^2 - 9x - 1 > 0\)

Это квадратное уравнение имеет вид \(ax^2 + bx + c > 0\), где \(a = 11\), \(b = -9\) и \(c = -1\).

Теперь найдем значения x, удовлетворяющие неравенству. Для этого нам понадобится построить график квадратного уравнения и найти интервалы, на которых оно положительно.

Сначала найдем корни уравнения \(11x^2 - 9x - 1 = 0\).
Мы можем использовать формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
\(D = (-9)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-1) = 81 + 44 = 125\)

Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:
\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{125}}{22}\)
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{125}}{22}\)

Теперь определим интервалы, в которых \(11x^2 - 9x - 1 > 0\).
На основе коэффициентов у нас есть два варианта:
1) Если коэффициент \(a > 0\), то уравнение будет положительным между корнями \(x_1\) и \(x_2\), то есть \(x_1 < x < x_2\).
2) Если коэффициент \(a < 0\), то уравнение будет положительным за пределами корней \(x_1\) и \(x_2\), то есть \(x < x_1\) или \(x > x_2\).

Подставим значения для нашего уравнения:
1) Если \(a > 0\): \(x_1 < x < x_2\)
1.1) \(x_1 < x\): \(\frac{9 - \sqrt{125}}{22} < x\)
1.2) \(x < x_2\): \(x < \frac{9 + \sqrt{125}}{22}\)
2) Если \(a < 0\): \(x < x_1\) или \(x > x_2\)
2.1) \(x < x_1\): \(x < \frac{9 - \sqrt{125}}{22}\)
2.2) \(x > x_2\): \(x > \frac{9 + \sqrt{125}}{22}\)

Вот значения x, для которых выполняется данное неравенство:
1) Если \(a > 0\): \(\frac{9 - \sqrt{125}}{22} < x < \frac{9 + \sqrt{125}}{22}\)
2) Если \(a < 0\): \(x < \frac{9 - \sqrt{125}}{22}\) или \(x > \frac{9 + \sqrt{125}}{22}\)