1. Образуют ли следующие группы событий полную группу после того, как произведены два выстрела по мишени: а) событие

Тарас

66

1. Давайте рассмотрим первую задачу. Нам дано, что было сделано два выстрела по мишени. Мы должны определить, образуют ли события "произошло хотя бы одно попадание" и "произошел хотя бы один промах" полную группу событий.

Для начала, давайте определим некоторые основные понятия:

- Полная группа событий означает, что все возможные исходы включены в эти события и ни один исход не оставлен без внимания.
- Вероятность события - это отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

Теперь давайте рассмотрим заданные события:

а) Событие "произошло хотя бы одно попадание" будет благоприятным исходам, где произошло хотя бы одно попадание. Возможные исходы могут быть: (попадание, попадание), (попадание, промах) и (промах, попадание).

б) Событие "произошел хотя бы один промах" будет благоприятным исходам, где произошел хотя бы один промах. Возможные исходы могут быть: (промах, промах), (промах, попадание) и (попадание, промах).

Теперь давайте проверим, образуют ли эти события полную группу после двух выстрелов. Для этого нам нужно убедиться, что сумма вероятностей обоих событий равна 1.

Для начала, давайте посчитаем общее количество возможных исходов. У нас есть два выстрела, и каждый выстрел имеет два возможных исхода: попадание или промах. Таким образом, общее количество возможных исходов равно \(2 \times 2 = 4\).

Теперь, давайте посчитаем количество благоприятных исходов для каждого из событий:

а) Событие "произошло хотя бы одно попадание": благоприятные исходы - (попадание, попадание), (попадание, промах), (промах, попадание). Всего благоприятных исходов \(3\).

б) Событие "произошел хотя бы один промах": благоприятные исходы - (промах, промах), (промах, попадание), (попадание, промах). Всего благоприятных исходов \(3\).

Теперь мы можем рассчитать вероятность каждого события, разделив количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов:

а) Вероятность события "произошло хотя бы одно попадание": \(P(\text{произошло хотя бы одно попадание}) = \frac{3}{4} = 0.75\).

б) Вероятность события "произошел хотя бы один промах": \(P(\text{произошел хотя бы один промах}) = \frac{3}{4} = 0.75\).

Таким образом, вероятность каждого из событий равна \(0.75\). Это подтверждает, что события "произошло хотя бы одно попадание" и "произошел хотя бы один промах" образуют полную группу после двух выстрелов по мишени.

2. Перейдем ко второй задаче. Нам дано, что в лотерее было выпущено \(n\) билетов, из которых \(m\) являются выигрышными. Куплено \(k\) билетов. Мы должны найти вероятности следующих событий:

а) Хотя бы один из \(k\) билетов является выигрышным.
б) Ровно один из \(k\) билетов является выигрышным.

Для начала, давайте определим общее количество возможных исходов для каждого из событий:

а) Для события "хотя бы один из \(k\) билетов является выигрышным" общее количество возможных исходов будет равно общему количеству исходов, когда хотя бы один из \(k\) билетов является выигрышным. Так как каждый билет может быть выигрышным или нет, общее количество возможных исходов будет равно \(2^k\).

б) Для события "ровно один из \(k\) билетов является выигрышным" общее количество возможных исходов будет равно общему количеству исходов, когда ровно один из \(k\) билетов является выигрышным. Мы должны выбрать один выигрышный билет из \(m\) выигрышных билетов и один проигрышный билет из \(n-m\) проигрышных билетов, а затем выбрать \(k-1\) из оставшихся билетов. Общее количество возможных исходов будет равно \(C(m, 1) \times C(n-m, k-1)\), где \(C\) - это биномиальный коэффициент.

Теперь, давайте посчитаем количество благоприятных исходов для каждого из событий:

а) Благоприятные исходы для события "хотя бы один из \(k\) билетов является выигрышным" будут равны количеству исходов, когда хотя бы один из \(k\) билетов является выигрышным. Можно рассмотреть два случая: когда один из \(k\) билетов является выигрышным, и когда все \(k\) билетов являются выигрышными. Таким образом, общее количество благоприятных исходов будет равно \(C(m, 1) \times (2^{k-1} + 1)\).

б) Благоприятные исходы для события "ровно один из \(k\) билетов является выигрышным" будут равны количеству исходов, когда ровно один из \(k\) билетов является выигрышным. В этом случае, можно выбрать один выигрышный билет из \(m\) выигрышных билетов и один проигрышный билет из \(n-m\) проигрышных билетов. Затем, нужно выбрать \(k-1\) билет из оставшихся. Таким образом, общее количество благоприятных исходов будет равно \(C(m, 1) \times C(n-m, k-1)\).

Теперь, мы можем рассчитать вероятность каждого из событий, разделив количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов:

а) Вероятность события "хотя бы один из \(k\) билетов является выигрышным": \(P(\text{хотя бы один из \(k\) билетов является выигрышным}) = \frac{C(m, 1) \times (2^{k-1} + 1)}{2^k}\).

б) Вероятность события "ровно один из \(k\) билетов является выигрышным": \(P(\text{ровно один из \(k\) билетов является выигрышным}) = \frac{C(m, 1) \times C(n-m, k-1)}{2^k}\).

Надеюсь, этот подробный и обстоятельный ответ поможет вам лучше понять эти задачи.