1. Одинаковое ядро массой m, движущееся на скорости υ = 0,6c, сталкивается с неподвижным ядром такой же массы. Какова

Загадочный_Магнат

65

Задача 1.

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения импульса. По закону сохранения импульса, сумма импульсов до столкновения должна быть равна сумме импульсов после столкновения.

Импульс (p) ядра определяется как произведение его массы (m) на скорость (v):

$$p=mv$$

Перед столкновением одно ядро движется со скоростью $\upsilon =0,6c$, где $c$ - скорость света. После столкновения образуется составное ядро.

Пусть ${\upsilon }_1$ - скорость составного ядра после столкновения. Составное ядро имеет массу $2m$, так как состоит из двух ядер массой $m$ каждое.

Согласно закону сохранения импульса:

$$mv+0=(2m){\upsilon }_1$$

Раскроем скобки:

$$0,6mc=2m{\upsilon }_1$$

Делая соответствующие сокращения:

$$0,6c=2{\upsilon }_1$$

Делим обе части уравнения на 2:

$${\upsilon }_1=0,3c$$

Таким образом, скорость составного ядра после столкновения будет равна $0,3c$.

Чтобы найти массу составного ядра в покое, воспользуемся формулой Эйнштейна:

$$E=m{c}^2$$

где $E$ - энергия, $m$ - масса и $c$ - скорость света.

Так как ядро составное, его масса в покое будет равна сумме масс двух исходных ядер:

$$m_1=m+m=2m$$

Подставляем значение $m_1$ в формулу:

$$E_1=(2m)c^2$$

Масса ядра в покое будет равна энергии деленной на квадрат скорости света:

$$m_1=\frac{E_1}{c^2}$$

Масса составного ядра в покое будет равна $2m$, где $m$ - исходная масса ядра.

Задача 2.

Уравнение для гармонических колебаний груза на пружине дано формулой:

$$x(t)=A\cos (\omega t+\phi )$$

где $x$ - смещение груза, $A$ - амплитуда колебаний, $\omega$ - циклическая частота, $t$ - время, $\phi$ - начальная фаза.

В данной задаче уравнение для смещения груза принимает вид:

$$x(t)=0,05\cos \left(\frac{\pi t}{3}\right)$$

Для нахождения расстояния, пройденного грузом за 21 секунду, сначала найдем смещение груза в момент времени $t=21$ секунда:

$$x(21)=0,05\cos \left(\frac{\pi \cdot 21}{3}\right)$$

Выполним соответствующие вычисления:

$$x(21)=0,05\cos (7\pi )$$

Так как $cos(7\pi )=cos(\pi )$, то:

$$x(21)=0,05\cos (\pi )$$

Мы знаем, что $cos(\pi )=-1$, поэтому:

$$x(21)=-0,05$$

Таким образом, груз пройдет расстояние равное амплитуде смещения:

$$S=|x(21)|=|-0,05|=0,05\text{м}етр$$

Таким образом, груз пройдет 0,05 метра за 21 секунду с момента начала движения.