1. Определить максимальное значение функции y = x 3 + 3x 2 − 9x – 7 в интервале

Kirill

17

Для определения максимального значения функции y = x^3 + 3x^2 - 9x - 7 в заданном интервале необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем критические точки:
Для этого возьмем первую производную функции и приравняем ее к нулю:
\( y" = 3x^2 + 6x - 9 \)
\( 3x^2 + 6x - 9 = 0 \)

Решим квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:
\( D = b^2 - 4ac \)
\( D = (6)^2 - 4(3)(-9) \)
\( D = 36 + 108 \)
\( D = 144 \)

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два вещественных корня.

\( x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{144}}{2(3)} = -3 - 2\sqrt{6} \)
\( x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{144}}{2(3)} = -3 + 2\sqrt{6} \)

Получили две критические точки: \( x_1 = -3 - 2\sqrt{6} \) и \( x_2 = -3 + 2\sqrt{6} \).

2. Проверим значения функции на концах заданного интервала:
Подставим значения интервала в функцию:
\( y(x_{min}) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) - 7 = -43 \)
\( y(x_{max}) = (2)^3 + 3(2)^2 - 9(2) - 7 = -9 \)

3. Теперь найдем значения функции в критических точках:
Подставим значения kритических точек в функцию:
\( y(x_1) = (-3 - 2\sqrt{6})^3 + 3(-3 - 2\sqrt{6})^2 - 9(-3 - 2\sqrt{6}) - 7 \)
\( y(x_2) = (-3 + 2\sqrt{6})^3 + 3(-3 + 2\sqrt{6})^2 - 9(-3 + 2\sqrt{6}) - 7 \)

4. Сравним полученные значения:
Из полученных значений, выберем наибольшее число, которое и будет максимальным значением функции в заданном интервале.

После выполнения этих шагов, вы найдете точное значение максимального значения функции y = x^3 + 3x^2 - 9x - 7 в заданном интервале.