1. Определите координаты центра и радиус окружности, заданной следующими уравнениями: а) Каковы координаты центра

Светик

56

Хорошо! Давайте решим эти задачи.

1. а) Уравнение окружности задано выражением \((x-5)^2+(y-2)^2\). Мы видим, что это уравнение уже находится в виде \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\), где \(h\) и \(k\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности. Таким образом, координаты центра окружности для данного уравнения равны \(h=5\), \(k=2\), а радиус окружности равен \(r=\sqrt{r^2}=r\).
Ответ: Координаты центра окружности: (5; 2), Радиус: \(r\).

б) Уравнение окружности задано выражением \((x+3)^2+(y+7)^2=18\). Для начала, приведем его к виду \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\). Произведем раскрытие скобок:
\(x^2 + 6x + 9 + y^2 + 14y + 49 = 18\).
Получается \((x^2 + 6x) + (y^2 + 14y) + (9 + 49 - 18) = 0\).
Добавим к обеим частям уравнения \((-6)^2\) и \((-7)^2\) для завершения квадратов:
\((x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 14y + 49) = 18 + 9 + 49\).
Теперь мы можем переписать уравнение в виде \((x+3)^2+(y+7)^2 = 76\).
Сравнивая это с общим видом уравнения окружности, мы можем найти координаты центра и радиус. Значит, координаты центра окружности равны \(h=-3\), \(k=-7\), и радиус окружности равен \(r=\sqrt{76}\).
Ответ: Координаты центра окружности: (-3; -7), Радиус: \(\sqrt{76}\).

в) Уравнение окружности задано выражением \(x^2+(y+1)^2=5\). Аналогично предыдущим заданиям, приведем его к виду \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\). Раскроем скобку и приведем подобные:
\(x^2 + (2y + 2) + 1 = 5\).
Получается \((x^2) + ((2y + 2) + 1 - 5) = 0\).
Добавим к обеим частям уравнения 1 и \((-2)^2\) для завершения квадрата:
\((x^2) + (2y + 2 + 1) = 0 + 1 + 4\).
Теперь мы можем переписать уравнение в виде \(x^2 + (2y + 3)^2 = 5\).
Сравнивая это с общим видом уравнения окружности, мы можем найти координаты центра и радиус. Значит, координаты центра окружности равны \(h=0\), \(k=-3\), и радиус окружности равен \(r=\sqrt{5}\).
Ответ: Координаты центра окружности: (0; -3), Радиус: \(\sqrt{5}\).

2. а) Чтобы записать уравнение окружности с центром в точке А(2;-8) и радиусом \(r=3\), мы используем общую формулу окружности \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\), где \(h\) и \(k\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности. Подставим значения:
\((x-2)^2 + (y+8)^2 = 3^2\).
Ответ: Уравнение окружности: \((x-2)^2 + (y+8)^2 = 9\).

б) Чтобы записать уравнение окружности с центром А(-5;0) и радиусом \(r=\sqrt{5}\), мы также используем общую формулу окружности \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\), где \(h\) и \(k\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности. Подставим значения:
\((x+5)^2 + (y-0)^2 = (\sqrt{5})^2\).
Здесь нам уже дан радиус, поэтому мы подставляем его значение.
Ответ: Уравнение окружности: \((x+5)^2 + y^2 = 5\).

3. У нас есть точка D(-7;2), через которую проходит окружность. Чтобы записать уравнение этой окружности, нам нужно найти координаты центра и радиус. Поскольку у нас только одна известная точка, мы не можем найти радиус напрямую. Мы можем выбрать любую точку на окружности и использовать ее для нахождения радиуса. Предположим, что точка D лежит на окружности с центром в точке (h, k) и радиусом \(r\) (то есть D лежит на пересечении линии радиуса с окружностью). Подставим координаты точки D в уравнение окружности:
\((-7-h)^2 + (2-k)^2 = r^2\).
Ответ: Уравнение окружности проходящей через точку D(-7;2): \((-7-h)^2 + (2-k)^2 = r^2\).

Надеюсь, это поможет вам понять задачи и найти правильные ответы. Если у вас возникнут еще вопросы или если что-то не ясно - не стесняйтесь спрашивать!