1. Определите область допустимых значений и точки разрыва функции (2 + 3)*^5х. 2. Исследуйте функцию на свойства

Veselyy_Zver

60

Хорошо, начнем с решения каждой задачи по очереди.

1. Определение области допустимых значений и точек разрыва функции \( (2 + 3) \times 5x \):

Область допустимых значений определяет все значения переменной \( x \), для которых функция определена. В этом случае, поскольку у нас нет знаменателя или других ограничений, функция определена для любого значения \( x \) вещественного числа. Таким образом, область допустимых значений функции \( (2 + 3) \times 5x \) - это все вещественные числа.

Точки разрыва функции - это значения \( x \), где функция неопределена или прерывает свою непрерывность. В данной функции нет точек разрыва, так как она определена для всех вещественных значений \( x \).

2. Исследование функции на свойства четности и периодичности:

Для исследования функции на свойства четности, мы должны проверить, является ли она четной, нечетной или ни то, ни другое.

Пусть \( f(x) = (2 + 3) \times 5x \):

Четная функция: Функция \( f(x) \) является четной, если для любого \( x \) выполняется условие \( f(-x) = f(x) \). В данном случае, подставляя \(-x\) вместо \(x\), мы имеем:

\[ f(-x) = (2 + 3) \times 5 \times (-x) = - (2 + 3) \times 5x = - f(x) \]

Таким образом, функция не является четной.

Нечетная функция: Функция \( f(x) \) является нечетной, если для любого \( x \) выполняется условие \( f(-x) = -f(x) \). В данном случае, подставляя \(-x\) вместо \(x\), мы имеем:

\[ f(-x) = (2 + 3) \times 5 \times (-x) = - (2 + 3) \times 5x = - f(x) \]

Функция также не является нечетной.

Таким образом, функция \( f(x) = (2 + 3) \times 5x \) не является ни четной, ни нечетной.

Что касается периодичности функции, заметим, что у функции нет повторяющихся участков. Поэтому можно сказать, что функция не является периодической.

3. Поведение функции на границах области определения и определение асимптот:

У функции \( f(x) = (2 + 3) \times 5x \) нет определенных границ, так как она определена для всех вещественных значений \( x \).

Определение асимптот:

Асимптоты функции - это прямые, которые стремятся к графику функции при стремлении \( x \) к бесконечности или приближении к определенным точкам.

Горизонтальная асимптота: Функция \( f(x) = (2 + 3) \times 5x \) не имеет горизонтальной асимптоты, так как ее график не стремится к какой-либо постоянной высоте при стремлении \( x \) к бесконечности.

Вертикальная асимптота: Функция \( f(x) = (2 + 3) \times 5x \) также не имеет вертикальных асимптот, так как график не стремится к бесконечности в какой-либо точке области определения.

Таким образом, функция \( f(x) = (2 + 3) \times 5x \) не имеет горизонтальных или вертикальных асимптот.

4. Интервалы монотонности и точки экстремума:

Для определения интервалов монотонности и точек экстремума функции \( f(x) = (2 + 3) \times 5x \), мы должны взять производную от функции и проанализировать ее знаки.

Итак, пусть нам дана функция \( f(x) = (2 + 3) \times 5x \).

Производная функции \( f(x) \) равна:

\[ f"(x) = 5 \times (2 + 3) = 5 \times 5 = 25 \]

Так как производная константа (25), она не зависит от значения \( x \). То есть, производная функции \( f(x) \) всегда положительна.

Следовательно, функция \( f(x) = (2 + 3) \times 5x \) монотонно возрастает на всей области определения и не имеет точек экстремума.

5. Интервалы выпуклости и точки перегиба функции:

Для определения интервалов выпуклости и точек перегиба функции \( f(x) = (2 + 3) \times 5x \), нам нужно взять вторую производную от функции и анализировать ее знаки.

Производная второго порядка функции \( f(x) \) равна:

\[ f""(x) = 0 \]

Так как производная второго порядка равна нулю, у нас нет информации о выпуклости или вогнутости функции, а также о точках перегиба.

6. Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( f(x) = (2 + 3) \times 5x \) и прямыми \( y = 0 \):

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции и осью x, мы должны найти точки пересечения графика с осью x. В данном случае, график функции \( f(x) = (2 + 3) \times 5x \) пересекает ось x в точке \( x = 0 \). Таким образом, фигура ограничена прямой \(y = 0\) и осью x на интервале \((- \infty, 0) \cup (0, + \infty)\).

Площадь этой фигуры равна:

\[ S = \int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)| dx \]

\[ S = \int_{-\infty}^{0} |(2 + 3) \times 5x| dx + \int_{0}^{+\infty} |(2 + 3) \times 5x| dx \]

\[ S = \int_{-\infty}^{0} -(2 + 3) \times 5x dx + \int_{0}^{+\infty} (2 + 3) \times 5x dx \]

\[ S = \left[ -\frac{(2 + 3) \times 5x^2}{2} \right]_{-\infty}^{0} + \left[ \frac{(2 + 3) \times 5x^2}{2} \right]_{0}^{+\infty} \]

\[ S = \left[ -\frac{(2 + 3) \times 5 \times 0^2}{2} \right] + \left[ \frac{(2 + 3) \times 5 \times (+\infty)^2}{2} \right] \]

\[ S = \frac{(2 + 3) \times 5 \times (+\infty)^2}{2} \]

\[ S = +\infty \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( f(x) = (2 + 3) \times 5x \) и прямыми \(y = 0\), равна положительной бесконечности.