1. Определите ускорение свободного падения для следующих объектов: Земли (R = 6400 км, -9,8 м/с); Марса (R = 3400

Скорпион

57

1. Расчет ускорения свободного падения для каждого объекта осуществляется по формуле:
\[ g = \dfrac{{G \cdot M}}{{R^2}} \]
где \( g \) - ускорение свободного падения, \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса объекта, \( R \) - радиус объекта.

- Для Земли:
Масса Земли \( M = 5.98 \times 10^{24} \) кг, радиус Земли \( R = 6400 \) км \( = 6.4 \times 10^6 \) м.
Подставляя значения в формулу, получаем:
\[ g_{\text{Земли}} = \dfrac{{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 5.98 \times 10^{24}}}{{(6.4 \times 10^6)^2}} \approx 9.8 \, \text{м/с}^2 \]

- Для Марса:
Масса Марса \( M = 6.39 \times 10^{23} \) кг, радиус Марса \( R = 3400 \) км \( = 3.4 \times 10^6 \) м.
Подставляя значения в формулу, получаем:
\[ g_{\text{Марса}} = \dfrac{{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 6.39 \times 10^{23}}}{{(3.4 \times 10^6)^2}} \approx 3.6 \, \text{м/с}^2 \]

- Для Венеры:
Масса Венеры \( M = 4.87 \times 10^{24} \) кг, радиус Венеры \( R = 6000 \) км \( = 6 \times 10^6 \) м.
Подставляя значения в формулу, получаем:
\[ g_{\text{Венеры}} = \dfrac{{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 4.87 \times 10^{24}}}{{(6 \times 10^6)^2}} \approx 8.4 \, \text{м/с}^2 \]

- Для Луны:
Масса Луны \( M = 7.35 \times 10^{22} \) кг, радиус Луны \( R = 1760 \) км \( = 1.76 \times 10^6 \) м.
Подставляя значения в формулу, получаем:
\[ g_{\text{Луны}} = \dfrac{{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 7.35 \times 10^{22}}}{{(1.76 \times 10^6)^2}} \approx 1.7 \, \text{м/с}^2 \]

Таким образом, ускорение свободного падения для каждого объекта равно:
для Земли: \( 9.8 \, \text{м/с}^2 \),
для Марса: \( 3.6 \, \text{м/с}^2 \),
для Венеры: \( 8.4 \, \text{м/с}^2 \),
для Луны: \( 1.7 \, \text{м/с}^2 \).

2. Значение первой космической скорости определяется по формуле:
\[ v = \sqrt{\dfrac{{2 \cdot G \cdot M}}{{R}}} \]
где \( v \) - первая космическая скорость, \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса объекта, \( R \) - радиус объекта.

Для Земли:
Масса Земли \( M = 5.98 \times 10^{24} \) кг, радиус Земли \( R = 6400 \) км \( = 6.4 \times 10^6 \) м.
Подставляя значения в формулу, получаем:
\[ v_{\text{Земли}} = \sqrt{\dfrac{{2 \cdot 6.67430 \times 10^{-11} \cdot 5.98 \times 10^{24}}}{{6.4 \times 10^6}}} \approx 11200 \, \text{м/с} \]

Для планеты с массой и радиусом в два раза превышающими значения Земли:
Масса новой планеты \( M" = 2 \cdot 5.98 \times 10^{24} = 1.196 \times 10^{25} \) кг,
радиус новой планеты \( R" = 2 \cdot 6.4 \times 10^6 = 12.8 \times 10^6 \) м.
Подставляя значения в формулу, получаем:
\[ v" = \sqrt{\dfrac{{2 \cdot 6.67430 \times 10^{-11} \cdot 1.196 \times 10^{25}}}{{12.8 \times 10^6}}} \approx 15900 \, \text{м/с} \]

Таким образом, значение первой космической скорости для планеты, чья масса и радиус в два раза превышают значения Земли, составляет примерно 15900 м/с.