1. Определите все возможные значения действительных чисел a и b, при которых условия f(x) = x2 + ax + b удовлетворяют

Yakobin

34

Задача 1:
Чтобы найти все возможные значения действительных чисел \(a\) и \(b\), при которых условия \(f(x) = x^2 + ax + b\) удовлетворяют неравенству \(f(a) = b\) и \(f(b) = a\), нужно выполнить следующие шаги.

Шаг 1: Найдём \(f(a)\) и \(f(b)\), подставив значения \(a\) и \(b\) в уравнение \(f(x)\).

\(f(a) = a^2 + a\cdot a + b = a^2 + a^2 + b = 2a^2 + b\)

\(f(b) = b^2 + a\cdot b + b = b^2 + ab + b = b^2 + ab + b\)

Шаг 2: Подставим \(f(a) = b\) и \(f(b) = a\) в неравенство \(f(a) = b\).

\(2a^2 + b = b\)

Вычтем \(b\) из обеих частей:

\(2a^2 = 0\)

Разделим обе части на 2:

\(a^2 = 0\)

Шаг 3: Найдём значение \(a\), которое удовлетворяет уравнению \(a^2 = 0\). Возможное значение для \(a\) - это 0.

Шаг 4: Подставим \(a = 0\) в \(f(a) = b\).

\(f(0) = 0^2 + 0 + b = b\)

Таким образом, для \(a = 0\) возможное значение \(b\) - любое действительное число.

Шаг 5: Проверим, удовлетворяет ли \(f(b) = a\) условию.

\(f(b) = b^2 + a\cdot b + b = b^2 + 0\cdot b + b = b^2 + b\)

Мы не можем найти определённое значение для \(a\), которое удовлетворило бы \(f(b) = a\). Таким образом, условие \(f(b) = a\) не может быть удовлетворено.

Итак, все возможные значения действительных чисел \(a\) - 0, а значения \(b\) могут быть любыми действительными числами.

Задача 2:
Чтобы найти все целочисленные значения \(t\), для которых уравнение \(x^2 + tx + t = 0\) имеет по крайней мере один целый корень, нужно выполнить следующие шаги.

Шаг 1: Рассмотрим дискриминант уравнения \(x^2 + tx + t = 0\):

\(D = t^2 - 4 \cdot 1 \cdot t\)

\(D = t^2 - 4t\)

Шаг 2: Условие "имеет по крайней мере один целый корень" означает, что дискриминант \(D\) должен быть неотрицательным и квадратным.

\(D \geqslant 0\) и \(t\) - целое число

Шаг 3: Решим неравенство \(D \geqslant 0\):

\(t^2 - 4t \geqslant 0\)

\((t - 2)(t + 2) \geqslant 0\)

Проанализируем знаки выражений \((t - 2)\) и \((t + 2)\) для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Если \(t < -2\), то оба множителя \((t - 2)\) и \((t + 2)\) отрицательные. Произведение двух отрицательных чисел будет положительным. Но этот случай нам не подходит.

Если \(-2 \leqslant t \leqslant 2\), то первый множитель \((t - 2)\) отрицателен, а второй множитель \((t + 2)\) положителен. Произведение отрицательного и положительного чисел даст отрицательное число. Интервал \(-2 \leqslant t \leqslant 2\) является решением неравенства \(D \geqslant 0\).

Если \(t > 2\), то оба множителя \((t - 2)\) и \((t + 2)\) положительные. Произведение двух положительных чисел также будет положительным. Но этот случай нам не подходит.

Шаг 4: Проверим, являются ли значения из интервала \(-2 \leqslant t \leqslant 2\) целыми числами.

Все значения в этом интервале являются целыми числами, так как исходное уравнение \(x^2 + tx + t = 0\) имеет по крайней мере один целый корень.

Итак, все целочисленные значения \(t\), при которых уравнение \(x^2 + tx + t = 0\) имеет по крайней мере один целый корень, находятся в интервале \(-2 \leqslant t \leqslant 2\).