1) Параболы и их нули: а) Какие значения имеют координаты вершины и нули функции y=x2 – 5? б) Что можно сказать

Щелкунчик

21

Да, я могу помочь вам с этой задачей по параболам. Давайте начнем с первой задачи.

1) Параболы и их нули:
а) Чтобы найти значения координат вершины и нулей функции \(y = x^2 - 5\), мы знаем, что вершина параболы имеет координаты \((h, k)\), где \(h\) - это абсцисса вершины, а \(k\) - это ордината вершины.

Формула для нахождения абсциссы вершины параболы - это \(h = -\frac{b}{2a}\), а формула для нахождения ординаты вершины - это \(k = f(h)\), где \(f(h)\) представляет собой подстановку значения \(h\) в уравнение параболы.

В данной функции \(y = x^2 - 5\), у нас \(a = 1\), \(b = 0\) и \(c = -5\). Таким образом, абсцисса вершины будет \(h = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0\), а ордината вершины будет \(k = 0^2 - 5 = -5\).

Таким образом, координаты вершины функции \(y = x^2 - 5\) будут \((0, -5)\).

Чтобы найти нули функции, мы должны приравнять \(y\) к нулю и решить уравнение. В данном случае мы имеем:
\(x^2 - 5 = 0\).

Решая это уравнение, мы найдем значения \(x\), при которых функция равна нулю. Путем применения различных методов решения квадратных уравнений, мы получим:
\(x = \pm \sqrt{5}\).

Таким образом, нули функции \(y = x^2 - 5\) будут \(x = -\sqrt{5}\) и \(x = \sqrt{5}\).

б) В функции \(y = 2(x+5)^2 - 8\) мы имеем коэффициенты \(a = 2\), \(b = 10\) и \(c = -8\).

Абсцисса вершины параболы будет \(h = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot 2} = -\frac{5}{2}\).

Ордината вершины будет \(k = f(h) = 2 \left(-\frac{5}{2} + 5\right)^2 - 8 = 2 \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 8 = 2 \cdot \frac{25}{4} - 8 = \frac{25}{2} - 8 = \frac{25-16}{2} = \frac{9}{2}\).

Таким образом, координаты вершины функции \(y = 2(x+5)^2 - 8\) будут \(\left(-\frac{5}{2}, \frac{9}{2}\right)\).

Чтобы найти нули функции, мы должны приравнять \(y\) к нулю и решить уравнение. В данном случае мы имеем:
\(2(x+5)^2 - 8 = 0\).

Путем решения этого уравнения мы найдем значения \(x\), при которых функция равна нулю. Решив его, мы получим:
\((x+5)^2 = 4\),
\(x+5 = \pm 2\),
\(x = -5 \pm 2\).

Таким образом, нули функции \(y = 2(x+5)^2 - 8\) будут \(x = -7\) и \(x = -3\).

2) График функции и его свойства:
а) Чтобы найти значения \(x\), соответствующие положительным и отрицательным значениям функции \(y = -x^2 + 2x + 3\), мы должны найти корни этого уравнения. В данном случае у нас уравнение
\(-x^2 + 2x + 3 = 0\).

Мы можем решить это квадратное уравнение и найти его корни, используя различные методы. Путем решения получаем:
\(x = -1\) и \(x = 3\).

Таким образом, в данной функции положительным и отрицательным значениям \(x\) будут соответствовать отрезки: \(x < -1\) и \(x > 3\).

б) Для определения интервалов возрастания и убывания функции, мы можем анализировать значения производной функции или используя значение \(a\) в уравнении параболы. В данном случае у нас \(a = -1\), что означает, что парабола открывается вниз.

Таким образом, функция \(y = -x^2 + 2x + 3\) будет убывать на интервале \(-\infty < x < 1\) и возрастать на интервале \(1 < x < +\infty\).

в) Чтобы найти наименьшее или наибольшее значение функции, мы можем рассмотреть вершину параболы. В данном случае вершина параболы находится в точке \(\left(\frac{1}{2}, \frac{11}{4}\right)\).

Таким образом, наименьшее значение функции равно \(\frac{11}{4}\), а наибольшее значение функции неограниченно, так как парабола открывается вниз.

3) Определение коэффициентов параболы:
В уравнении параболы \(y = ax^2 + bx + c\) вершина параболы находится в точке \((h, k)\), где \(h\) - координата абсциссы вершины, а \(k\) - координата ординаты вершины.

По заданной точке \((1, 1)\) мы можем определить значения коэффициентов:

\(h = 1\),
\(k = 1\).

Используя формулу для абсциссы вершины \(h = -\frac{b}{2a}\), мы можем заменить \(h\) на 1 и получить:
\(1 = -\frac{b}{2a}\).

Также, зная, что \(k = f(h)\), мы можем заменить \(k\) на 1 и \(h\) на 1 в уравнении параболы и получить:
\(1 = a \cdot (1)^2 + b \cdot (1) + c\).

Следовательно, у нас есть два уравнения:
\(1 = -\frac{b}{2a}\) и \(1 = a + b + c\).

Используя эти два уравнения, мы можем найти значения коэффициентов \(a\), \(b\) и \(c\), решив систему уравнений. Однако, нам не хватает информации для непосредственного решения этой системы. Нам нужно дополнительное условие или другая точка на параболе.

Я надеюсь, что это ответы помогут вам понять параболы и их свойства лучше. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь вам.