Какова сумма площадей всех квадратов? Какое значение имеет сторона третьего квадрата в данной последовательности?

Yupiter

59

Для ответа на все эти вопросы, давайте разберем каждый шаг подробно.

1. Какова сумма площадей всех квадратов?
Предположим, у нас есть последовательность квадратов, где каждый следующий квадрат имеет сторону, в два раза большую, чем предыдущий. Пусть первый квадрат имеет сторону \(a\). Тогда, второй квадрат имеет сторону \(2a\), третий квадрат - \(4a\) и так далее.

Площадь квадрата вычисляется, умножая его сторону саму на себя. Таким образом, площадь первого квадрата равна \(a \times a = a^2\). Площадь второго квадрата будет \((2a) \times (2a) = 4a^2\), а третьего квадрата - \((4a) \times (4a) = 16a^2\).

Если продолжать эту последовательность и найти площади всех квадратов, можно заметить, что каждая следующая площадь в четыре раза больше, чем предыдущая. Поэтому площади всех квадратов образуют геометрическую прогрессию.

Сумма площадей геометрической прогрессии может быть найдена с использованием следующей формулы:
\[S = \frac{{b_1(1 - q^n)}}{{1 - q}}\]
где \(S\) - сумма, \(b_1\) - первый элемент последовательности, \(q\) - множитель (в данном случае 4), а \(n\) - количество элементов последовательности.

Так как в последовательности каждый следующий квадрат имеет в 2 раза большую сторону, множитель \(q = 4\). Количество элементов можно найти исходя из условия задачи.

2. Какое значение имеет сторона третьего квадрата в данной последовательности?
Как было упомянуто ранее, каждый следующий квадрат имеет сторону, в два раза большую, чем предыдущий. Если первый квадрат имеет сторону \(a\), то третий квадрат будет иметь сторону \(4a\). Таким образом, сторона третьего квадрата в данной последовательности равна \(4a\).

3. Какова площадь наибольшего квадрата?
Наибольший квадрат в данной последовательности будет иметь наибольшую сторону. В нашем случае, последовательность растет в геометрической прогрессии с множителем 4. Значит, последний квадрат будет иметь сторону в 4 раза большую, чем сторона первого квадрата. Поэтому, сторона последнего квадрата будет \(4^n a\), где \(n\) - количество элементов последовательности.

Площадь последнего квадрата будет равна:
\[(4^n a) \times (4^n a) = 16^n a^2\]

4. Чему равен знаменатель?
В формуле для суммы геометрической прогрессии \(\frac{{b_1(1 - q^n)}}{{1 - q}}\), знаменатель равен разности единицы и множителя \(q\). В данном случае, \(q = 4\), следовательно, знаменатель будет равен \(1 - 4 = -3\).

5. Какую из формул следует использовать для решения задачи: \(b_1/1−q^2\), \(b_1+b_2q/2\), \(b_1/1−q\), \(b_1(1−qn)/1−q\)?
Для решения данной задачи следует использовать формулу для суммы геометрической прогрессии: \(\frac{{b_1(1 - q^n)}}{{1 - q}}\). Так как у нас есть исходные данные о первом элементе последовательности (\(b_1\)), множителе (\(q\)), и мы знаем, что последовательность прогрессии имеет конечное количество элементов (в нашем случае третий квадрат), данная формула подходит для вычисления суммы площадей всех квадратов.

Надеюсь, это объяснение помогло прояснить все вопросы. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, обращайтесь!