1) Парафразируйте вопрос: На сторонах треугольника PQM взяты точки К, L, N так, что отношения РК:KQ=21:10, QL:LM=2:3

Solnechnaya_Luna

49

Ответ на задачу:

1) вопрос: В треугольнике PQM проведены отрезки КМ и NL, которые делят стороны треугольника так, что отношения длин отрезков РК:KQ=21:10, QL:LM=2:3 и PN:NM=2:5. Точка А - точка пересечения отрезков МК и NQ. Докажите, что фигура PALN является параллелограммом.

Чтобы доказать, что фигура PALN - параллелограмм, необходимо и достаточно показать, что стороны PA и LN параллельны, а также что стороны PL и AN параллельны.

Для начала, обратим внимание на длины отрезков РК:KQ=21:10, QL:LM=2:3 и PN:NM=2:5. Мы можем выразить эти отношения через длины соответствующих отрезков:

РК = (21/31) * PQ,
KQ = (10/31) * PQ,

QL = (2/5) * LM,
LM = (3/5) * QL,

PN = (2/7) * PM,
NM = (5/7) * PM.

Заметим, что отношение длин РК: KQ и длин QL: LM являются пропорциональными, если мы умножим оба отношения на постоянный множитель. То же самое относится и к отношению PN: NM.

Теперь рассмотрим отношение длин отрезков MA: AK. Заметим, что отношение длин отрезков МК: KQ равно 31:21, поскольку это отношение пропорционально РК: KQ = 21:10. Таким образом, мы можем записать:

МА = (21/31) * MK,
AK = (10/31) * MK.

Аналогичным образом, используя отношения QL: LM и PN: NM, мы получим:

AL = (3/5) * LN,
PN = (2/7) * LN.

Теперь обратим внимание на отношение длин АМ: ML. Мы можем записать:

AM = АМ + МК = (21/31) * МК + (10/31) * МК = (31/31) * МК = МК,
ML = ML + LN = (3/5) * LN + LN = (8/5) * LN.

Таким образом, мы получаем, что АМ = МК, а также что ML = LN, что говорит о том, что стороны AL и MN параллельны. Аналогично, мы можем показать, что стороны AP и NL также параллельны. Таким образом, фигура PALN является параллелограммом.

2) вопрос: Найдите длину отрезка АМ, если известно, что длины отрезков QM=15, PM=28, и прямая РА перпендикулярна прямой MQ.

Из условия задачи мы знаем, что прямая РА перпендикулярна прямой MQ. Это означает, что треугольники РАМ и QМР являются прямоугольными.

Используем теорему Пифагора в треугольнике QМР, чтобы найти длину отрезка QR:

QR = \(\sqrt{{QM^2 + MR^2}}\).

Так как АМ - прямоугольная высота треугольника QМР, мы можем выразить длину отрезка АМ, используя площадь этого треугольника и длину основания QR:

АМ = \( \frac{{2 \cdot S}}{{QR}} \),

где S - площадь треугольника QМР.

Теперь найдем длину отрезка QR:

QR = \(\sqrt{{15^2 + 28^2}}\) = \(\sqrt{{225 + 784}}\) = \(\sqrt{{1009}}\).

Зная длину отрезка QR, мы можем вычислить площадь треугольника QМР:

S = \( \frac{{1}}{{2}} \cdot QM \cdot MR \) = \( \frac{{1}}{{2}} \cdot 15 \cdot 28 \) = 210.

И, наконец, можем вычислить длину отрезка АМ:

АМ = \( \frac{{2 \cdot 210}}{{\sqrt{{1009}}}} \) = \( \frac{{420}}{{\sqrt{{1009}}}} \).

Таким образом, длина отрезка АМ равна \( \frac{{420}}{{\sqrt{{1009}}}} \).