1. Переформулируйте уравнения, задающие окружности: а) Какое уравнение задает окружность с центром в точке (3,0

Skvoz_Holmy_2718

67

1. а) Чтобы переформулировать уравнение окружности с центром в точке (3,0) и радиусом √6, мы можем использовать формулу окружности \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), где (h, k) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности. Подставляя значения в эту формулу, получим:
\((x - 3)^2 + (y - 0)^2 = (\sqrt{6})^2\)

б) Уравнение окружности с центром в начале координат (0,0) и радиусом 6 можно переписать с использованием указанной формулы:
\(x^2 + y^2 = 6^2\)

2. Чтобы определить положение точек A(3, -4) и B(7, -2) относительно окружности с центром в точке (4, -2) и радиусом 3, мы должны вычислить расстояние между центром окружности и каждой из точек. Если расстояние меньше радиуса, то точка находится внутри окружности, если больше - снаружи. Расстояние между двумя точками можно вычислить с помощью формулы дистанции:
\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

Рассчитаем расстояния от центра окружности (4, -2) до точек A(3, -4) и B(7, -2):
\(d_A = \sqrt{(3 - 4)^2 + (-4 - (-2))^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\)
\(d_B = \sqrt{(7 - 4)^2 + (-2 - (-2))^2} = \sqrt{9 + 0} = \sqrt{9} = 3\)

Так как расстояние \(d_A\) равно радиусу 3, точка A(3, -4) лежит на границе окружности. Расстояние \(d_B\) меньше радиуса, значит точка B(7, -2) находится внутри окружности.

3. Уравнение окружности с центром в точке (-3, 2) и радиусом 5 можно записать, используя формулу окружности:
\((x - (-3))^2 + (y - 2)^2 = 5^2\)
\((x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25\)

4. Чтобы найти уравнение окружности с центром в точке (0, 2) и проходящей через точку B(1, -3), мы можем использовать формулу окружности в общей форме \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\). Подставим значения координат точек и найдем радиус:
\((1 - 0)^2 + (-3 - 2)^2 = r^2\)
\(1 + 25 = r^2\)
\(26 = r^2\)

Таким образом, уравнение окружности будет выглядеть следующим образом:
\(x^2 + (y - 2)^2 = 26\)

5. Для того чтобы написать уравнение окружности с диаметром MN, используем формулу окружности, где диаметр равен удвоенному радиусу:
Мы знаем, что M(-1, -2) и N(5, y). Расстояние по горизонтали между M и N равно 6 (то есть 5 - (-1)). Поскольку диаметр равен расстоянию между двумя точками на окружности, радиус будет равен половине диаметра: \(r = \frac{6}{2} = 3\).

Тогда уравнение окружности будет:
\((x - (-1))^2 + (y - (-2))^2 = 3^2\)
\((x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9\)