1) Переформулюйте доказ того, що трикутник АВС є рівностороннім, якщо А(7; 1; -3), В(0; 8; -3) і С(0; 1

Letuchiy_Mysh

7

Добро пожаловать! Для начала, давайте рассмотрим первую задачу.

1) Чтобы доказать, что треугольник ABC является равносторонним, нам нужно убедиться, что все его стороны имеют одинаковую длину. Если мы знаем координаты вершин A(7; 1; -3), B(0; 8; -3) и C(0; 1; 4), то можем найти длины его сторон.

Длина стороны AB можно найти по формуле расстояния между двумя точками: \(\sqrt{{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}}\), где \((x_1; y_1; z_1)\) и \((x_2; y_2; z_2)\) - координаты вершин A и B соответственно.

Таким образом, для длины AB имеем:
\[AB=\sqrt{{(0-7)^2 + (8-1)^2 + (-3-(-3))^2}}=\sqrt{{49 + 49 + 0}}=\sqrt{{98}}=\sqrt{{2 \cdot 7 \cdot 7}}=7\sqrt{{2}}\]

Аналогичным образом, можем найти длины сторон BC и CA:

\[BC=\sqrt{{(0-0)^2 + (1-8)^2 + (4-(-3))^2}}=\sqrt{{0 + 49 + 49}}=\sqrt{{98}}=7\sqrt{{2}}\]

\[CA=\sqrt{{(7-0)^2 + (1-1)^2 + (-3-4)^2}}=\sqrt{{49 + 0 + 49}}=\sqrt{{98}}=7\sqrt{{2}}\]

После вычислений мы видим, что все стороны треугольника AB, BC и CA имеют одинаковую длину \(7\sqrt{{2}}\). Следовательно, треугольник ABC является равносторонним.

Теперь перейдем ко второй задаче.

2) Чтобы доказать, что треугольник с вершинами A(-2; 6; -3), B(2; -2; 5) и C(0; -4; 1) является прямоугольным, нам нужно убедиться, что квадрат длины одной из его сторон равен сумме квадратов длин двух других сторон. В данном случае мы также можем воспользоваться формулой расстояния между точками для нахождения длин сторон и проверки этого соотношения.

Для удобства, обозначим стороны треугольника как AB, BC и CA, а гипотенузу - например, AC. Таким образом, нам нужно найти длины сторон AB, BC и CA и проверить соотношение \(AB^2 + BC^2 = CA^2\).

Длины сторон AB, BC и CA:

\[AB=\sqrt{{(2-(-2))^2 + (-2-6)^2 + (5-(-3))^2}}=\sqrt{{16 + 64 + 64}}=\sqrt{{144}}=12\]

\[BC=\sqrt{{(0-2)^2 + (-4-(-2))^2 + (1-5)^2}}=\sqrt{{4 + 4 + 16}}=\sqrt{{24}}=2\sqrt{{6}}\]

\[CA=\sqrt{{(-2-0)^2 + (6-(-4))^2 + (-3-1)^2}}=\sqrt{{4 + 100 + 16}}=\sqrt{{120}}=2\sqrt{{30}}\]

Теперь рассмотрим условие: \(AB^2 + BC^2 = CA^2\)

\((12)^2 + (2\sqrt{{6}})^2 = (2\sqrt{{30}})^2\)

\(144 + 24 = 120\)

Левая часть равенства равна 168, тогда как правая часть равна 120. Поскольку эти два значения не равны, мы можем заключить, что треугольник ABC не является прямоугольным.

Надеюсь, эти пошаговые решения были понятными для вас! Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь обращаться! Я всегда готов помочь вам в школьных вопросах.