1. Перепишите: Как упростить следующее выражение: Sin160^0 * Cos70^0 - Cos200^0 * Sin70^0 - Cos235^0 * Sin215^0

Эльф

30

1. Давайте решим первую задачу. Мы должны упростить следующее выражение:
\[ \sin{160^\circ} \cdot \cos{70^\circ} - \cos{200^\circ} \cdot \sin{70^\circ} - \cos{235^\circ} \cdot \sin{215^\circ} / \tg{55^\circ} \cdot \ctg{215^\circ} \]

Для начала, давайте посмотрим на некоторые основные тригонометрические тождества, которые помогут нам упростить это выражение:

\[
\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)
\]
\[
\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)
\]
\[
\tg(a) = \frac{{\sin(a)}}{{\cos(a)}}
\]
\[
\ctg(a) = \frac{{\cos(a)}}{{\sin(a)}}
\]

Теперь, приступим к решению:

\[
\sin{160^\circ} \cdot \cos{70^\circ} - \cos{200^\circ} \cdot \sin{70^\circ} - \cos{235^\circ} \cdot \sin{215^\circ} / \tg{55^\circ} \cdot \ctg{215^\circ}
\]

Мы видим, что некоторые углы в данном выражении находятся в зависимости друг от друга с использованием тригонометрических функций. Используя ранее упомянутые тождества, мы можем постепенно упростить это выражение.

\[
= \sin{(160^\circ - 90^\circ)} - \cos{(200^\circ - 180^\circ)} + \tg{(235^\circ - 270^\circ)} + \ctg{(360^\circ + 215^\circ)}
\]

Продолжим упрощение, используя тригонометрические тождества:

\[
= \sin{70^\circ} - \cos{20^\circ} + \tg{-35^\circ} + \ctg{575^\circ}
\]

Теперь, давайте посмотрим на значения тригонометрических функций для этих углов:

\[
\sin{70^\circ} \approx 0.9397
\]
\[
\cos{20^\circ} \approx 0.9397
\]
\[
\tg{-35^\circ} \approx -0.7002
\]
\[
\ctg{575^\circ} \approx -0.7002
\]

Подставим значения и посчитаем:

\[
= 0.9397 - 0.9397 + (-0.7002) + (-0.7002) \approx -0.5
\]

Таким образом, исходное выражение упрощается до приближенного значения -0.5.

2. Теперь перейдем ко второй задаче. Нам необходимо упростить следующее выражение:
\[ \sin(a - 90^\circ) - \cos(a - 180^\circ) + \tg(a - 270^\circ) + \ctg (360^\circ + a) \]

Похоже, что некоторые углы были преобразованы с использованием тригонометрических функций. Давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы упростить выражение:

\[
= \sin(a - 90^\circ) - \cos(a - 180^\circ) + \tg(a - 270^\circ) + \ctg(a + 360^\circ)
\]

Используя тригонометрические тождества, мы можем преобразовать каждое слагаемое выражения.

\[
= \cos(90^\circ - a) - \cos(180^\circ - a) + \frac{{\sin(a - 270^\circ)}}{{\cos(a - 270^\circ)}} + \frac{{\cos(a + 360^\circ)}}{{\sin(a + 360^\circ)}}
\]

Теперь, давайте продолжим упрощение, используя значения тригонометрических функций для этих углов:

\[
= \cos(90^\circ - a) - \cos(180^\circ - a) + \frac{{\sin(-180^\circ)}}{{\cos(-180^\circ)}} + \frac{{\cos(a)}}{{\sin(a)}}
\]

Запишем значения тригонометрических функций:

\[
= \cos(90^\circ - a) - \cos(180^\circ - a) + \frac{{0}}{{-1}} + \frac{{\cos(a)}}{{\sin(a)}}
\]

Теперь посчитаем значения для каждого слагаемого и упростим:

\[
= \sin(a) + \cos(a) + 0 + \frac{{\cos(a)}}{{\sin(a)}}
\]

Таким образом, мы получаем упрощенное выражение: \(\sin(a) + \cos(a) + \frac{{\cos(a)}}{{\sin(a)}}\).