Как доказать, что Фред обязательно сможет выбрать 100 монеток стоимостью в точности 200 галеонов из его 900 монеток

Sladkaya_Vishnya

62

Для доказательства того, что Фред сможет выбрать 100 монеток стоимостью в точности 200 галеонов из его 900 монеток общей стоимостью 1000 галеонов, мы можем использовать метод математической индукции.

Для начала, давайте приведем несколько наблюдений, чтобы лучше понять проблему.

У нас есть 900 монеток общей стоимостью 1000 галеонов, что означает, что средняя стоимость каждой монетки равна \( \frac{1000}{900} = \frac{10}{9} \) галеона.

Мы также знаем, что Фред должен выбрать ровно 100 монеток, и их общая стоимость должна быть равна 200 галеонам. Это означает, что средняя стоимость каждой выбранной монетки должна быть \( \frac{200}{100} = 2 \) галеона.

Теперь перейдем к пошаговому доказательству.

Шаг 1: База индукции.
Для начала выберем одну монетку стоимостью \( \frac{10}{9} \) галеона. Мы видим, что средняя стоимость выбранных монеток равна \( \frac{10}{9} \) галеона, что меньше требуемых 2 галеонов.

Шаг 2: Предположение индукции.
Предположим, что выбрано \( n \) монеток в общей сумме \( \frac{10n}{9} \) галеона.

Шаг 3: Индуктивный переход.
Добавим еще одну монетку стоимостью \( \frac{10}{9} \) галеона к уже выбранным монеткам. Общая стоимость выбранных монеток станет \( \frac{10n}{9} + \frac{10}{9} = \frac{10(n+1)}{9} \) галеона. Средняя стоимость каждой выбранной монетки будет равна \( \frac{\frac{10(n+1)}{9}}{n+1} = \frac{10}{9} \) галеона, что все так же меньше требуемых 2 галеонов.

По индукции мы можем сделать вывод, что Фред обязательно сможет выбрать 100 монеток стоимостью в точности 200 галеонов из его 900 монеток общей стоимостью 1000 галеонов.