1) Подтвердите утверждение о том, что одно из диагональных сечений параллелепипеда перпендикулярно плоскости основания

Георгий_9885

68

1) Для подтверждения утверждения рассмотрим параллелепипед с основанием, параллельным плоскости \(Oxy\), и диагональными сечениями \(AC\) и \(BD\).

Для начала, заметим, что диагонали параллелепипеда являются векторами, проведенными из одной вершины параллелепипеда в противоположную. Первую диагональ \(AC\) можно представить как сумму двух векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\), где \(\overrightarrow{AB}\) - диагональ одной из граней параллелепипеда, а \(\overrightarrow{BC}\) - диагональ другой грани параллелепипеда.

Так как ранее мы заметили, что диагонали параллелепипеда векторы, эти векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\) можно представить как суммы соответствующих векторов одной из граней:

\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FB}\]
\[\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{GC}\]

где \(E,F,G\) - вершины параллелепипеда.

Таким образом, диагональ \(AC\) будет представлена в виде:
\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{GC}\]

Заметим, что суммы \(\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FB}\) и \(\overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FG}\) являются нулевыми векторами, так как это векторы от начальной вершины до конечной вершины одной грани параллелепипеда. Таким образом, диагональ можно переписать в виде:
\[\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EG} + \overrightarrow{GC}\]

Заметим, что векторы \(\overrightarrow{AE}\) и \(\overrightarrow{EG}\) лежат в плоскости основания параллелепипеда \(Oxy\), так как они расположены на соответствующих сторонах основания. А вектор \(\overrightarrow{GC}\) перпендикулярен плоскости основания, так как соединяет две вершины, лежащие на основании. Таким образом, диагональ \(AC\) перпендикулярна плоскости основания.

Аналогично, рассмотрим диагональ \(BD\). Она также может быть представлена суммой двух векторов, один из которых (\(\overrightarrow{BE}\)) лежит в плоскости основания, а вторая (\(\overrightarrow{GD}\)) перпендикулярна плоскости основания. Таким образом, диагональ \(BD\) образует прямоугольник с плоскостью основания.

Таким образом, утверждение о том, что одно из диагональных сечений параллелепипеда перпендикулярно плоскости основания, а другое образует прямоугольник, подтверждается.

2) Рассмотрим верхнее и нижнее основания параллелепипеда. Проекция верхнего основания параллелепипеда на нижнее основание будет представлять собой фигуру, полученную проецированием каждой вершины верхнего основания на плоскость нижнего основания.

При проецировании вершины на плоскость она перемещается вертикально вниз по перпендикуляру к плоскости. Таким образом, каждая вершина верхнего основания будет соединяться с соответствующей вершиной нижнего основания линией, параллельной боковым граням параллелепипеда. Проекция верхнего основания на нижнее основание будет представлять собой многоугольник, чьи стороны параллельны сторонам нижнего основания параллелепипеда.

3) Чтобы соединить одну из вершин параллелепипеда с тремя ближайшими вершинами так, чтобы образовался правильный тетраэдр, необходимо, чтобы все ребра, соединяющие эти вершины, были равными.

Пусть \(A\) - вершина параллелепипеда, а \(B,C,D\) - ближайшие вершины. Поскольку острый угол ромба равен 60°, можем заметить, что треугольник \(ABC\) является равносторонним.

Так как треугольник \(ABC\) равносторонний, все его стороны равны. Это означает, что ребра \(AB, BC, AC\) равны друг другу.

Теперь рассмотрим треугольник \(ACD\). Так как треугольник \(ACD\) имеет равные углы с треугольником \(ABC\) (угол \(\angle CAB\) ранее был определен как 60°), а также угол при вершине \(A\) является прямым (так как диагонали параллелепипеда перпендикулярны), то треугольник \(ACD\) также будет равносторонним и его стороны \(AD, AC, CD\) равны друг другу.

Таким образом, все ребра, соединяющие вершины \(A,B,C\) и \(D\), равны друг другу, и получается правильный тетраэдр.

Чтобы найти формулу для выражения высоты параллелепипеда через его сторону, давайте рассмотрим параллелепипед, стоящий на одной из его сторон.

Пусть \(a\) - длина стороны параллелепипеда, \(h\) - его высота, соответствующая этой стороне.

Так как параллелепипед может быть представлен как два параллелограмма, основания которых равны \(a\), а высоты равны \(h\), формула для объема параллелепипеда будет \(V = a \cdot h \cdot a = a^2 \cdot h\).

Так как объем параллелепипеда равен произведению его высоты \(h\) на площадь основания (которая в данном случае равна \(a^2\)), можно выразить высоту параллелепипеда через его сторону:

\[h = \frac{V}{a^2}\]

Таким образом, формула для выражения высоты параллелепипеда через его сторону будет \(h = \frac{V}{a^2}\), где \(V\) - объем параллелепипеда, \(a\) - длина стороны параллелепипеда.

Если у вас есть конкретные значения для длины стороны и объема параллелепипеда, вы можете использовать эту формулу для вычисления высоты.