Каково выражение вектора (MP) ⃗ через векторы (AB) ⃗ = a ⃗ и (AD) ⃗ = b ⃗ в параллелограмме ABCD со сторонами BC

Semen

66

Для решения данной задачи мы можем использовать свойство параллелограмма, согласно которому диагонали параллелограмма делятся пополам.

Итак, у нас есть параллелограмм ABCD, в котором заданы векторы (AB) ⃗ = a ⃗ и (AD) ⃗ = b ⃗.

Точки M и P делят соответственные стороны BM и CP в заданном отношении. Для начала построим отрезок MP, который является диагональю параллелограмма.

Поскольку точка M делит отрезок BM в отношении 2:5, мы можем представить вектор (BM) ⃗ через вектор (AB) ⃗ следующим образом:

(BM) ⃗ = (BO) ⃗ + (OM) ⃗ = (BA) ⃗ + (OM) ⃗

где точка O является точкой пересечения диагоналей параллелограмма. Так как O является точкой пересечения диагоналей, то вектор (OM) ⃗ равен половине векторов (AC) ⃗ и (BD) ⃗:

(OM) ⃗ = \(\frac{1}{2}\)(AC) ⃗ = \(\frac{1}{2}\)(a ⃗ + b ⃗)

Значит,

(BM) ⃗ = (BA) ⃗ + (OM) ⃗ = a ⃗ + \(\frac{1}{2}\)(a ⃗ + b ⃗) = \(\frac{3}{2}\)(a ⃗ + b ⃗)

Точно таким же образом можно найти вектор (PC) ⃗:

(PC) ⃗ = (PH) ⃗ + (OC) ⃗ = (AD) ⃗ + (OC) ⃗

Так как O является точкой пересечения диагоналей, то вектор (OC) ⃗ равен половине векторов (AB) ⃗ и (DC) ⃗:

(OC) ⃗ = \(\frac{1}{2}\)(AB) ⃗ = \(\frac{1}{2}\)(a ⃗)

Значит,

(PC) ⃗ = (AD) ⃗ + (OC) ⃗ = b ⃗ + \(\frac{1}{2}\)(a ⃗) = b ⃗ + \(\frac{1}{2}\)a ⃗

Теперь мы можем найти вектор (MP) ⃗ как разность векторов (PC) ⃗ и (BM) ⃗:

(MP) ⃗ = (PC) ⃗ - (BM) ⃗ = (b ⃗ + \(\frac{1}{2}\)a ⃗) - (\(\frac{3}{2}\)(a ⃗ + b ⃗))

Упрощая это выражение, получаем:

(MP) ⃗ = b ⃗ + \(\frac{1}{2}\)a ⃗ - \(\frac{3}{2}\)a ⃗ - \(\frac{3}{2}\)b ⃗

(MP) ⃗ = -\(\frac{1}{2}\)a ⃗ - \(\frac{1}{2}\)b ⃗

Таким образом, выражение вектора (MP) ⃗ через векторы (AB) ⃗ = a ⃗ и (AD) ⃗ = b ⃗ в параллелограмме ABCD со сторонами BC и CD будет:

(MP) ⃗ = -\(\frac{1}{2}\)a ⃗ - \(\frac{1}{2}\)b ⃗

Надеюсь, это решение понятно. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.