1) Покажіть, що точки а1, в1 та с1 розташовані на одній прямій. 2) Визначте довжину відрізка в1с1, якщо ас = 7см

Михаил

35

Щоб показати, що точки \(A_1\), \(B_1\) і \(C_1\) розташовані на одній прямій, спочатку розглянемо властивість, відому як теорема про два прямокутних трикутники. Ця теорема стверджує, що якщо два трикутники мають пари прямокутних сторін, які пропорційні, то вони подібні.

В даній задачі у нас є три трикутники: \(\triangle ABC\), \(\triangle A_1B_1C_1\) та \(\triangle A_1C_1S\). Позначимо довжини сторін цих трикутників:

\(AB = 7\) см
\(BC = 21\) см
\(AC = 12\) см
\(A_1B_1 = ?\)
\(B_1C_1 = ?\)
\(A_1C_1 = ?\)
\(A_1S\) та \(C_1S\) - гіпотенузи прямокутних трикутників.

Задача полягає в тому, щоб знайти відповіді на питання про довжини відрізків \(A_1B_1\), \(B_1C_1\) та \(A_1C_1\).

1) Покажемо, що точки \(A_1\), \(B_1\) і \(C_1\) розташовані на одній прямій, використовуючи теорему про два прямокутних трикутники:

За умовою задачі маємо:
\(AB = 7\) см
\(BC = 21\) см
\(AC = 12\) см

Для трикутника \(\triangle ABC\) використовуємо теорему Піфагора для знаходження третьої сторони:

\[\begin{equation*}
\begin{aligned}
AB^2 + BC^2 &= AC^2 \\
7^2 + 21^2 &= 12^2 \\
49 + 441 &= 144 \\
490 &= 144
\end{aligned}
\end{equation*}\]

Отже, ліва і права частина рівняння не рівні, що свідчить про те, що трикутник \(\triangle ABC\) є НЕпрямокутним.

Тепер розглянемо трикутник \(\triangle A_1B_1C_1\):

У трикутнику \(\triangle ABC\) відповідні сторони є пропорційними сторонам трикутника \(\triangle A_1B_1C_1\). Оскільки трикутник \(\triangle ABC\) є НЕпрямокутним, за теоремою про два прямокутних трикутники ми можемо стверджувати, що трикутник \(\triangle A_1B_1C_1\) також є НЕпрямокутним.

Отже, ми стверджуємо, що точки \(A_1\), \(B_1\) і \(C_1\) розташовані на одній прямій.

2) Тепер перейдемо до визначення довжини відрізка \(V_1С_1\):

Ми маємо такі відомі довжини: \(АС = 7\) см, \(ВС = 21\) см, \(А_1С_1 = 12\) см.

Застосуємо теорему Піфагора до трикутника \(\triangle A_1C_1S\) для знаходження довжини \(A_1S\):

\[\begin{equation*}
\begin{aligned}
(A_1C_1)^2 + (CS)^2 &= (A_1S)^2 \\
12^2 + 7^2 &= (A_1S)^2 \\
144 + 49 &= (A_1S)^2 \\
193 &= (A_1S)^2 \\
A_1S &= \sqrt{193}
\end{aligned}
\end{equation*}\]

Тепер застосуємо ту саму теорему до трикутника \(\triangle B_1C_1S\) для знаходження довжини \(B_1S\):

\[\begin{equation*}
\begin{aligned}
(B_1C_1)^2 + (CS)^2 &= (B_1S)^2 \\
21^2 + 7^2 &= (B_1S)^2 \\
441 + 49 &= (B_1S)^2 \\
490 &= (B_1S)^2 \\
B_1S &= \sqrt{490}
\end{aligned}
\end{equation*}\]

Отже, відповідь на другу частину задачі: довжина відрізка \(В_1С_1\) дорівнює \(\sqrt{490}\) см, а довжиною відрізка \(A_1С_1\) дорівнює \(\sqrt{193}\) см.